Делимость многочленов

б) Пусть , тогда . По только что рассмотренному случаю, число а можем разделить на положительное число , то есть : , .

Отсюда , и поскольку , имеем, что .

Итак, возможность деления с остатком для целых чисел и доказана.

2. Единственность деления с остатком. Допустим, что существуют 2 неполных частных и 2 остатка и : ,

,

Тогда или , причем . А тогда по свойству 3 делимости целых чисел , тогда .

Итак, единственность деления с остатком для целых чисел и доказана. ▲.

п. 3. Делимость многочленов

Пусть — кольцо многочленов одной переменной х над полем Р.

Опр.3. Пусть . Говорят, что делится на (и пишут ), если .

Свойства делимости многочленов:

1) .

2) .

Так как .

3) .

Теорема 2 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов существуют единственные многочлены такие, что , при этом или .

(Знать определение степени многочлена, высшего (старшего) члена многочлена).

Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Пусть , .

1 случай. Если или , то и существование представления доказано.

2 случай. Пусть теперь , , .

Рассмотрим многочлен . , так как

многочлены и имеют одинаковые высшие члены , которые при вычитании взаимно уничтожаются.

Если или , то процесс закончен и искомое представление .

Пусть теперь и старший коэффициент многочлена равен , то строим многочлен . Аналогично устанавливаем, что .