Делимость многочленов
б) Пусть , тогда
. По только что рассмотренному случаю, число а можем разделить на положительное число
, то есть
:
,
.
Отсюда , и поскольку
, имеем, что
.
Итак, возможность деления с остатком для целых чисел и
доказана.
2. Единственность деления с остатком. Допустим, что существуют 2 неполных частных и 2 остатка и
:
,
,
Тогда или
, причем
. А тогда по свойству 3 делимости целых чисел
, тогда
.
Итак, единственность деления с остатком для целых чисел и
доказана. ▲.
п. 3. Делимость многочленов
Пусть — кольцо многочленов одной переменной х над полем Р.
Опр.3. Пусть
. Говорят, что делится на (и пишут
), если
.
Свойства делимости многочленов:
1) .
2) .
Так как .
3) .
Теорема 2 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов существуют единственные многочлены
такие, что
, при этом
или
.
(Знать определение степени многочлена, высшего (старшего) члена многочлена).
Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Пусть ,
.
1 случай. Если или
, то
и существование представления доказано.
2 случай. Пусть теперь ,
,
.
Рассмотрим многочлен .
, так как
многочлены и
имеют одинаковые высшие члены
, которые при вычитании взаимно уничтожаются.
Если или
, то процесс закончен и искомое представление
.
Пусть теперь и старший коэффициент многочлена
равен
, то строим многочлен
. Аналогично устанавливаем, что
.