Числовые ряды — основные понятия

Возможно о другое

x = ; F =

dx / dt = F(t, x) — динамическая система

t – время

xn – координаты некоторой точки в n-мерном Евклидовом пространстве

dx / dt = F(x) — автономная

(x1, x2,…, xn) – фазовое пространство

x = x(t) – фазовая траектория

n = 2

t

x0 M0(t0, x10,x02)

интегральная кривая

х20 х2

х1 фазовая траектория

14. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое усдовие сходимости ряда.

Опр.

Пусть задана числ. послед.:(an )=(a1,a2,…,an,…) ,ai R (ai С)

Сумма a1+ a2+…+an+…= ( * ) назыв. числовым рядом.

a1,a2,…an – члены ряда. an – n-ый член ряда.

Опр.

Сумма кон. числа n-ых членов ряда (*) Sn=a1+a2+…+an= назыв.n-ой частной суммой данного ряда.

Опр.

Если для последов (S) част. сумм ряда (*) сущ. кон предел Sn=S, то ряд (*) наз. сходящимся, а число S – суммой данного ряда.

S=a1+a2+…+an+…=

Если предел послед не или бесконечен, то ряд наз. расходящимся.

аn=

сход сход, сход

Теорема 1.

Если ряд ( * ) сход., то сход. и ряд полученный из него изменением любого кон. числа членов.

Из сходимости ряда, полученного из ряда(*) изменением, вытекает сход. ряда(*) .

Док-во.

a1+a2+…+ak+ak+1+ an +…(*)

++…++…++…(~)

(*) , (~)

— =— = c,c=const

=+c;

| | || — cход и расх одновременно

Отбрасыв. или добавление кон. числа членов не влияет на сход.можно с некоторого места провер. на сход.

Опр.

Если у ряда a1+ a2+…+an+ an+1+ an+2 …= отбросить первых n членов, то получим ряд an+1+ an+2 …= (**) кот назыв. n–ым остатком данного ряда.

Из Т1 следует, что сход. ряда (*) равносильна сход. любого его остатка. Сумму ост. сход. ряда обозн.: r(n)=

Из сход. ряда S====+rn

Sn=S

Если , то это является и дост. условием сход ряда(*).

сход

Теорема2.

Пусть ряды и сходятся,

тогда, ряды и — сх,