Численное интерполирование и интегрирование

Численное интерполирование и интегрирование.

Постановка задачи численного интерполирования. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Погрешность интерполирования. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы трапеции, общая формула трапеции. Формула остаточного члена.

Численное интерполирование

Постановка задачи. Часто возникают задачи, связанные с заменой одной функции на другую более простого вида, но близкую к исходной по некоторым свойствам. Пусть имеем . Необходимо подобрать такую функцию, чтобы. Часто рассматривают как комбинацию простых функций, называемых основной системой функций: . Обобщенный полином (многочлен), построенный по основной системе функций, имеет вид: . Задача аппроксимации состоит в том, чтобы с помощью обобщенных полиномов приблизить исходную функцию максимально близко, чтобы.

Если вместовзять полиномы, т. е. основная система функций будет следующей , то такая задача называется интерполяцией– это приближение функции многочленами. Задача интерполирования – построение такого многочлена, который бы в узлах интерполирования совпадал со значениями функции , т. е..

Существует несколько видов интерполяционных многочленов (Лагранжа, Ньютона, Чебышева, Лежандра и т. д.)

Многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Погрешность многочлена Лагранжа

Существует точка такая, что , т. е.

.

Это значение c должно совпадать с выбранным ранее, т. е. должно выполняться равенство:

Откуда получаем

Так в качестве могла быть взята любая точка x из промежутка [a, b], не совпадающая ни с какой узловой, расфиксируем (разморозим) точку , т. е. заменим ее в последнем равенстве произвольной точкой , в результате чего приходим к выражению остаточного члена:

Оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы в любой точке можно с помощью неравенства, где,

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке [a, b] оценивается величиной (оценка остаточного члена) .

Другая форма интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона.

Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона — разностный аналог формулы Тейлора разложения функции в ряд в окружности точки (формула Тейлора )

Ньютон предложил искать интерполяционный многочлен в форме

Введем понятие разделенной разности. Пусть на отрезке  [a, b] задана система узлов {}  и значение функции в этих узлах: {}  .

Разделенной разностью 1-го порядка, построенной на паре узлов ,  называется число

Разделенной разностью 2-го порядка по узлам ,  называется формула вида:

, ,

которая является аналогом 2-ой производной.

Разделенной разностью k-го порядка по узлам называется формула вида:

Сам же многочлен Ньютона имеет вид:

  (1)

Формула (1) является 1-ой формулой многочлена Ньютона для интерполирования в начале таблицы, т. е. здесь  должно быть близко к .