Частные производные

изначально под пределом функции в точке понимали предел послед-сти элементов области значений функции, составленной из образов точек послед. элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел сущ., то говорят, что функция сход. к указанному знач; если такого предела не сущ., то говорят, что ф-ция расх.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a, b] и f(a)*f(b)<0, т. е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a, b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a, b], то она достиг. на этом отрезке min m и max M.

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при j(х0)¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то сущ. окрестность х0, в кот. f(x)>0

3. если y=f(U) непрер. в U0, а U=j(x) непрер. в U0=j(x0), то сложн. ф. y=f[j(x)] непрер. в х0.

52. Частные произв. Дифференцируемость. Полный диф. и его применение в пр. вычис.

Частная произ. — одно из обобщ. понятия произ-ой на случай ф-ции неск. переменных.

В явном виде частная производная f функции опред. следующим образом:

Частная произв. функции двух перем. по перем. х представл. собой обыкновенную произв. ф-ции одной перем. х при фиксированном знач. перем. у. Поэтому частные произв. вычисляют по формулам и правилам выч-ния произв. ф-ции одной пер-ной.

Дифференцируемая функция—функция, кот. может быть хорошо приближена лин. функцией. Необходимым, но не достат. усл. диф-сти является непрер. функции. В случае функции от одной вещественной перем. диф-сть равносильна сущ-нию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необход. (но не дос-ным) усл. диф-сти явл. сущ. частных производных по всем переменным. Полный дифференциал — линейная часть приращения функции.

53. Экстрем. функции двух перем. Необход. и Дост. усл. экстр. Наиб. и наим. значение непр. функции.

(достат. усл. экстремума ф-ции 2-ух пере­м). Пусть ф-ция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической т. (х0,y0), вкот. f’x (x0 , y0) = 0 и f’y(x0,y0) = 0 б) имеет в этой т. непрерывн. частные произв-ые 2-го порядка f//xx(x0,у0)=А;f//xy(х0,у0)=f//yx(х0,у0)=В;f//yy(x0,y0)=С.

Тогда, если ∆=АС – В2 >0, то в т.(х0,у0) ф-ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС—В2<0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если А=АС – В2=0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Необх. условие экстремума:

Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее произ-ная в этой точке = 0 или не сущ-ла, т. е. чтобы точка х0 была критической.

Чтобы найти наиб. и наим. знач. функции z=f(х, у), непрерывной в огран. замкнутой области D, необходимо:

1)Найти критические точки данной ф-ции, лежащие в обл. D и вычисл. знач. ф-ции в этих точ.

2)Найти наиб. и наим. значения функции на линиях, образующих границу области.

3)Из всех полученных знач. выбрать наибольшее и наименьшее.

54. Произ. функции по напр. Градиент ф.

Производная по напр. — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Произв. по напр. показывает, насколько быстро функция изменяется при движ. вдоль задан. направл.

Произв. функции одной переменной показ., как изменяется её знач. при малом измен. аргумента. Если попытаться по аналогии опред. произв. функции многих перем., то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

С матем. точки зрения градиент — это произв. скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором опред. функция и её градиент может быть как обычным трехмерным пространством, так и простр. любой др. размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

55. Осн. понятия теории обыкновенных диф. ур. Диф. ур. 1 порядка. Ур. с раздел. переменными.

Диф. уравнением назыв. ур. относительно неизвестной функции и ее произв-х различных порядков. Порядком диф. ур. называется порядок старшей производной, входящей в это ур. Если искомая функция зависит от одной пер-ной, то соотв. диф. урав. назыв. обыкновенным. Если искомая функция зависит от неск. переменных, то соответ. диф. урав. назыв. ур-ем с частными производными. Обыкн. диф. уравнение n-го порядка в общем виде можно записать в виде: F(x, y, y’, y»,…,y(n))=0 Где х – независ. переменная; у= у(x) – искомая функция переменной х; x, y, y’, y»,…,y(n) – ее производные; F(x, y, y’, y»,…,y(n))=0 – заданная функция своих аргументов.

Обыкн. диф. ур. первого порядка: F(x, y, y’)=0

Если ур-ие вида F(х, у)dх+Q(х, у)dу=0 можно переписать как ур-ие вида f1(х)φ1(у)dх+ f2(х)φ2(у)dу=0, то оно назыв. ур-ие с разделяющимися переменными.

Исключив из рассмотрения точки, в которых φ1(у)f2(х)=0, тогда ур-ие примет вид:

(f1(х)/f2(х))dх+(φ2(у)/φ1(у))dу=0 .

Урав. вида у′= f1(х)φ2(у) также сводится к ур. с разделяющимися переменными. Для этого положим, что у′= dу/dх. Умножим обе части на dх и разделим на переменные.

56. Задача Коши. Теорема сущ. и единственности дифференциального уравнения первого порядка.

Нахождение решения или ур. или , для которого при заданных начальных условиях выполн. равенство или , назыв. решением задачи Коши для начальных условий . геометр. содерж. задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через зад. точку .

Теорема сущест. и единственности решения

Если уравнение функции f(x) и ее частная производная df/dy непрерывны в некоторой области Д, то данное уравнение имеет единств. решение удовл. условию y(x0)=y0

В точках плоскости, в которых нарушены усл. теоремы Коши, назыв. особыми точками диф. ур. В этих точках терпит разрыв либо функция f(x, y) либо ее производная. Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной. Если линия состоит только из особых точек и явл. интегральной кривой ДУ, то функция y=φ(x) назыв. особым решением диф. уравнения.

57. Лин. диф. уравнения первого порядка.

Диф. ур. первого порядка назыв. ли­нейным, если оно имеет вид y‘+f(x)y=g(x), где f(х) и g(x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда фун. g(x) тождественно = нулю, ур. назыв. однородным, в противн. случае — неоднор.

Для нахождения общего реш. ур. может быть применен метод вариации постоянной.

58. Лин. диф. ур. высших порядков. Одн. линейные диф. ур. 2 порядка с пост. коэф.. Стр. решения.

Диф. уравнение n-го порядка вида y^(n)(х) + p1(x)y^(n–1)(х) +… +pn–1(x)y'(х) + pn(x) y(х) = f(x), где коэф. уравнения pi(x)(i = 1, 2, …, n) и правая часть f(x) – заданные функции, а у(х) – неизв. функция, назыв. линейным.

ОЛДУ 2-го порядка с постоян коэф. наз-ся ур: y’’+py’+qy=0(ур1),где p, qR действит. числа. Характеристическимур для однороднурназ-ся квадратное ур:.(ур2)

Обшее решение однородного диф. уравн. зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением.

общее решение уравнения

1)если ур2 имеет 2 различных корня,то общее решение ур имеет вид :y=,гдепроизвольные постоянные. 2)если ур2 имеет 1 корень общ. решение(1): y=(гдеизв. постоянные. 3)если ур(2)не имеет корней, то общее решение ур(1) :y= где произв. пост.