Учебные материалы по математике | Биномиальное распределение | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Биномиальное распределение


Для дискретных случайных величин закон распределения можно записать в виде ряда распределения, т. е в виде таблице, в которой перечислены все значения случ-х величин и их вероятность. ПР:сзади=>1

Бином. распределение.

Мы рассм-м несколько наиболее важных законов распр/я случ. величин. Наиболее важно — биноминальное распределение, т. е вер-ть появления события А в схеме Бернули:

Закон задан формулой: Pn(k)=Cnkpkqn-k.

Основной закон здесь выполнен:

Здесь использована ф-ла Бинома Ньютона.

12) Выразить формулу распределение Пуансона.

Мы выделим теперь еще один важный закон распределения – распределение Пуансона.

n — велико, p<0,1.

Пусть в схеме Бернулли n – велико и p<0,1 и частота появлений события А неизменна в различных n испытаниях.

np=λ=const — предполож/но.

Это означает, что среднее число в различных сериях испытаний неизменно. Преобразуем ф-лу Бернули с учетом этого допущения.

Получили что — это и есть распределение Пуансона, это закон распределения массовых, но редких событий. Легко убедиться, что сумма вер-тей =1.

Распределение Пуансона и локальная теорема Лапласа имеют одну и ту же область применения. Сфера:

Pn(k)=, npq>=q — Лапласа,

npq=q – Пуансона.

13)Простейший поток событий.

(1)P(k)=λk/kꜝeλ, λ=np.

Распределение Пуансона носит название массовых, но редких событий. Этим законом описывается простейший поток событий.

Потоком называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. Поток наз-ся простейшим (пуансоновым), если он обладает 3-мя св-ми:

— стационарностью,

— отсутствие последовательности,

— ординарность.

Стационар-ть обозначает, что кол-во событий k наступивших за период событий t, зависит только от k и t, и не зависит от того, в каком промежутке расположено его время.

ПР: Телефонные звонки.

Отсутсвие посл-ти означает, что кол-во звонков, наступивших за определенное время не зависит от того, сколько событий произошло в пред-е моменты времени.

Ординарность потока означает, что в какой-то момент времени не может произойти только 1 событие, иначе говоря это означает квантованность потока.

Этот простейший поток описывается след-им распределением: (2)Pt(k)=λtk/kꜝeλt , λ- интенсивность потока, т. е среднее число событий, происходивших за единицу времени.

Из ф-лы (2) видно выполнение первых двух св-в.

Докажем теперь ординарность потока, т. е найдем вер-ть того, что за малый момент времени, происходит более 1 события и покажем, что эта вер-ть мала по сравнению с вер-тью при k=0 и k=1.

….(формулы сзади)….

14)Функция распределения.

Закон распределения для дискретных случайных величин можно записать ввиде таблицы. 1 монету бросили три раза:

X 0 1 2 3

Y 1/8 3/8 3/8 1/8 ∑pk=1

Для непрерывной случайной величины такую таб-цу записывать нельзя, т. к нельзя перечислить все ее значения, поэтому для непрерывной вел-ны имеется вер-сть попадания в некоторый интервал. Пусть задана сл. величина X, xϵR – веществ число.

Опр: Функция распределения F(x) называется случ величиной вероятностью P(X<x) того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x – малое.

(3)F(x)=P(X<x)

1)0≤F(x)≤1

2)F(x)-не убывающая, x1<x2=> F(x1)≤F(x2)

3)P(x1≤x≤x2)=F(x2)-F(x1)

F(x2)=P(X<x2), F(x1)=P(X<x1),

P(X-X2)=P(X<x1)+P(x1<X<x2),

P(x1≤X≤x2)=P(X<x2)-P(X<x1)=F(x2)-F(x1).

4) Пусть все значения натур величины находятся в a<x<b-> тогда x1≤a, F(x1)=0, а если x2>b -> F(x2)=1.

ПР1:игральные кости.

ПР2: сзади1

15)Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.

Функция распределения полностью описывает сл. величину любого вида, как дискретную, так и непрерывную. Но она неудобна тем, что дает накопленную вер-ть. Поэтому для непрерывной случайнй величины вводится понятие плотность распределения, которая характеризует вероятность попадая в некоторый интервал.

Плотностью распределения называется предел при : . (4)f(x)=F’(x).

Свойства плотности:

1)F(x)=;

2)f(x)≥0, т. к F(x) – неубывающая ф-ция, то ее производная F’(x), равная f(x) – неотрицательная.

3)P(a≤X≤b)=, P(a<X<b)=F(a)-F(b)=, тюк F(x) – первообразная для f(x).

4), Док-во P(-∞<X<∞)=1.

Т. к вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то конкретное значение=0, то в св-ве 3 может стоять как строгий знак неравенства, так и не строгий.

16) Числовые характеристики случайных величин.

Функция распределения или плотность распределения полностью хар-т случайную величину, но часто известен только вид этих функций с точностью до некоторых коэфф-ов.

Кроме того иногда удобно пользоваться хар-ми описывающими случайную величину вцелом. Наиболее важные: — мат. ожидание MX, — дисперсия DX.

Математ ожидание дискрет случ величины наз-ся выражение для непрерывной случайной величины. MX= — для дискретной слювел-ы; MX= — для непрерывной сл. величины.

Мат ожидание является обобщение понятий средних значений (среднего ариф-го). ПР->1

17)Дисперсия. Св-ва.

Второй важной хар-ой является отклонение от среднего, оно хар-ся дисперсией. Мат ожидание хар-ет центр мишени, а дисперсия – отклонение от центра.

DX=M(x-MX)2 – отклонение от мат ожидания.

Св-ва мат ожидания и дисперсии:

1)M(c)=c; 2) M(kx)=kMX; 3)M(X+Y)=MX+MY.

Опр: случайные величины наз-ся независимыми, если з-н распределения одно из них не зависит от того, какаие значения примет другая величина.

4) M(XY)=MX*MY. ПР:->

Преобразуем формулу для дисперсии используя формулу мат ожидания:

Свойства дисперсии:

1)D(c)=0; 2)D(kx)=k2DX;

3)Для независимых случ величин дисперсия суммы равна сумме дисперсии.

Следствие: D(X+Y)=DX+DY

Док-во: D(XY)=D(X+(-1)Y)=DX+D(-1Y)=DX+(-1)DY=DX+DY.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод