Биномиальное распределение

Для дискретных случайных величин закон распределения можно записать в виде ряда распределения, т. е в виде таблице, в которой перечислены все значения случ-х величин и их вероятность. ПР:сзади=>1

Бином. распределение.

Мы рассм-м несколько наиболее важных законов распр/я случ. величин. Наиболее важно — биноминальное распределение, т. е вер-ть появления события А в схеме Бернули:

Закон задан формулой: Pn(k)=Cnkpkqn-k.

…

Основной закон здесь выполнен:

Здесь использована ф-ла Бинома Ньютона.

12) Выразить формулу распределение Пуансона.

Мы выделим теперь еще один важный закон распределения – распределение Пуансона.

n — велико, p<0,1.

Пусть в схеме Бернулли n – велико и p<0,1 и частота появлений события А неизменна в различных n испытаниях.

np=λ=const — предполож/но.

Это означает, что среднее число в различных сериях испытаний неизменно. Преобразуем ф-лу Бернули с учетом этого допущения.

…

Получили что — это и есть распределение Пуансона, это закон распределения массовых, но редких событий. Легко убедиться, что сумма вер-тей =1.

…

Распределение Пуансона и локальная теорема Лапласа имеют одну и ту же область применения. Сфера:

Pn(k)=, npq>=q — Лапласа,

npq=q – Пуансона.

13)Простейший поток событий.

(1)P(k)=λk/kꜝeλ, λ=np.

Распределение Пуансона носит название массовых, но редких событий. Этим законом описывается простейший поток событий.

Потоком называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. Поток наз-ся простейшим (пуансоновым), если он обладает 3-мя св-ми:

— стационарностью,

— отсутствие последовательности,

— ординарность.

Стационар-ть обозначает, что кол-во событий k наступивших за период событий t, зависит только от k и t, и не зависит от того, в каком промежутке расположено его время.

ПР: Телефонные звонки.

Отсутсвие посл-ти означает, что кол-во звонков, наступивших за определенное время не зависит от того, сколько событий произошло в пред-е моменты времени.

Ординарность потока означает, что в какой-то момент времени не может произойти только 1 событие, иначе говоря это означает квантованность потока.

Этот простейший поток описывается след-им распределением: (2)Pt(k)=λtk/kꜝeλt , λ- интенсивность потока, т. е среднее число событий, происходивших за единицу времени.

Из ф-лы (2) видно выполнение первых двух св-в.

Докажем теперь ординарность потока, т. е найдем вер-ть того, что за малый момент времени, происходит более 1 события и покажем, что эта вер-ть мала по сравнению с вер-тью при k=0 и k=1.

….(формулы сзади)….

14)Функция распределения.

Закон распределения для дискретных случайных величин можно записать ввиде таблицы. 1 монету бросили три раза:

X 0 1 2 3

Y 1/8 3/8 3/8 1/8 ∑pk=1

Для непрерывной случайной величины такую таб-цу записывать нельзя, т. к нельзя перечислить все ее значения, поэтому для непрерывной вел-ны имеется вер-сть попадания в некоторый интервал. Пусть задана сл. величина X, xϵR – веществ число.

Опр: Функция распределения F(x) называется случ величиной вероятностью P(X<x) того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x – малое.

(3)F(x)=P(X<x)

1)0≤F(x)≤1

2)F(x)-не убывающая, x1<x2=> F(x1)≤F(x2)

3)P(x1≤x≤x2)=F(x2)-F(x1)

F(x2)=P(X<x2), F(x1)=P(X<x1),

P(X-X2)=P(X<x1)+P(x1<X<x2),

P(x1≤X≤x2)=P(X<x2)-P(X<x1)=F(x2)-F(x1).

4) Пусть все значения натур величины находятся в a<x<b-> тогда x1≤a, F(x1)=0, а если x2>b -> F(x2)=1.

ПР1:игральные кости.

ПР2: сзади1

15)Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.

Функция распределения полностью описывает сл. величину любого вида, как дискретную, так и непрерывную. Но она неудобна тем, что дает накопленную вер-ть. Поэтому для непрерывной случайнй величины вводится понятие плотность распределения, которая характеризует вероятность попадая в некоторый интервал.

Плотностью распределения называется предел при : . (4)f(x)=F’(x).

Свойства плотности:

1)F(x)=;

2)f(x)≥0, т. к F(x) – неубывающая ф-ция, то ее производная F’(x), равная f(x) – неотрицательная.

3)P(a≤X≤b)=, P(a<X<b)=F(a)-F(b)=, тюк F(x) – первообразная для f(x).

4), Док-во P(-∞<X<∞)=1.

Т. к вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то конкретное значение=0, то в св-ве 3 может стоять как строгий знак неравенства, так и не строгий.

16) Числовые характеристики случайных величин.

Функция распределения или плотность распределения полностью хар-т случайную величину, но часто известен только вид этих функций с точностью до некоторых коэфф-ов.

Кроме того иногда удобно пользоваться хар-ми описывающими случайную величину вцелом. Наиболее важные: — мат. ожидание MX, — дисперсия DX.

Математ ожидание дискрет случ величины наз-ся выражение для непрерывной случайной величины. MX= — для дискретной слювел-ы; MX= — для непрерывной сл. величины.

Мат ожидание является обобщение понятий средних значений (среднего ариф-го). ПР->1

17)Дисперсия. Св-ва.

Второй важной хар-ой является отклонение от среднего, оно хар-ся дисперсией. Мат ожидание хар-ет центр мишени, а дисперсия – отклонение от центра.

DX=M(x-MX)2 – отклонение от мат ожидания.

Св-ва мат ожидания и дисперсии:

1)M(c)=c; 2) M(kx)=kMX; 3)M(X+Y)=MX+MY.

Опр: случайные величины наз-ся независимыми, если з-н распределения одно из них не зависит от того, какаие значения примет другая величина.

4) M(XY)=MX*MY. ПР:->

Преобразуем формулу для дисперсии используя формулу мат ожидания:

Свойства дисперсии:

1)D(c)=0; 2)D(kx)=k2DX;

3)Для независимых случ величин дисперсия суммы равна сумме дисперсии.

Следствие: D(X+Y)=DX+DY

Док-во: D(X—Y)=D(X+(-1)Y)=DX+D(-1Y)=DX+(-1)DY=DX+DY.