Билет по высшей математике

№1

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство  для любого х из заданного промежутка. функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение  называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией.

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:

Инвариантность формулы интегрирования: ([ᵩ(x)] = U)

Дифференциал от неопределённого интеграла = подынтегральному выражению, а производная = подынтегральной функции

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции = сумме этой функции и произвольной постоянной

№2

Таблица интегралов: (x заменить на u)

№3

*Непосредственное интегрирование: данный интеграл с помощь тождественных преобразований подынтегральной функции или выражения и применения свойств неопределённого интеграла приводится к табличному. При сведении интеграла к табличному часто используются операции подведения под знак дифференциала.

*Замена переменной: вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла, после решения которого возвращаемся к первоначальной переменной.

(формула замены переменной в неопределённом интеграле)

*Интегрирование по частям: Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения  и последующем применении формулы интегрирования по частям: .

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве dv – оставшаяся частьподинтегрального выражения, содержащая dx, из которой находится v путём интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, этот метод иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата.

№4

Рациональная дробь  — отношение двух многочленов. Pm(x)Qn(x)

Рациональная дробь правильная, если m<n; неправильная, если m>=n

Общие правила интегрирования рациональных дробей:

Если дробь неправильная, нужно представить её в виде суммы многочлен + неправильная дробь (делением числителя на знаменатель). Далее раскладываем знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представляем её виде суммы простейших рациональных дробей. Потом нужно проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей:

M и N заменить на A и B соответственно.

В знаменателе выделяем полный квадрат. Вводим новую переменную t=x+p2 à x=t-p2, dx=dt. Разбиваем на 2 интеграла, один из которых табличный, а второй почти табличный.

Вывод формулы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: 

 
Поэтому, 
 

У полученного интеграла  преобразуем знаменатель: 

Следовательно, 

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид: 

№5

Вычисление интеграла вида сводится к вычислению интеграла от рациональной функции с помощью универсальной подстановки:  

Применяются и более простые подстановки в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции.

 Специальные подстановки: 

1) Если R (-sin x, cos x) = — R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

2) Если R (sin x, — cos x) = — R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

3) Если R (-sin x, — cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t. Эта же подстановка применяется, если интеграл имеет вид R(tgx)dt

№6

При нахождении интегралов типа используются следующие подстановки:

Sinx=t, если n – целое, положительное, нечётное число

Cosx=t, если m – целое, положительное, нечётное число

Tgx=t, если m+n – чётное, отрицательное, целое число

Если m и n — целые, неотрицательные чётные числа, тогда используют формулы понижения порядка:

Cos2x=12(1+cos2x)

Sin2x=12(1-cos2x)

№7

Нахождения интеграла от простейших иррациональных функций типа ( где a, b,c, d – натуральные числа; α,β,γ,δ – натуральные числа). Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функциис помощью подстановки (ax+b)(cx+d)=tk , где k – наименьшее общее кратное αβ,…,δγ

№8

№9

Свойства определённого интеграла:

Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство.
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется .

Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное.  

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.  .

5. 

6.  Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и  для любого значения аргумента , то .

7.   

8.  Теорема о среднем: c € [a, b],  

. Число .

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции численно = площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница:

№11

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью  и прямыми , :

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох, S=—

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f(x), y=g(x), такими, что f(x)<=g(x), находится по формуле:

При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями y(t)>=0, t € [t1,t2], прямыми x=a, x=b, то 

(вместо α и β – t1, t2, вместо φ и второй фигни – x, y)

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r=r(φ), лучами φ=α, φ=β (α<β) может быть вычислена по формуле

 (вместо p — r)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой х= φ (y) прямыми y=c, y=d, осью Oy то:

№10

Методы вычисления определённых интегралов:

Метод интегрирования по частям: Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x), то имеет право формула 

Метод подстановки: Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка х= φ(t), t € [t1,t2], dx= φ’(t)dt, тогда (вместо α и β – t1 и t2)

№12

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где  — функция, определенная в некоторой области  пространства ,  — независимая переменная,   — функция от ,  — ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

ДУ первого порядка: F(x, y,y’), если оно разрешено относительно y’, то оно примет вид . , т. к. y’=dydx, dy= y’dx.

dydx= f(x, y); dy=f(x, y)dx

Задача Коши для ДУ первого порядка: найти решение ДУ первого порядка, удовлетворяющее начальному условию x=x0, y=y0, т. е. найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (x0,y0).

Общим решением дифференциальных уравнений вида  является функция y = F(x) + С, определяемая в области Д, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.  При любом значении С функция является решением уравнения F(x, y,y’)=0

2.  Для любых начальных условий (x0,y0) € Д существуют такие значения С, что существуют равенства y0=F(x0, C)

Частное решение ДУ – любое решение уравнения, которое получается из общего при конкретном значении С.

№13

(M и N заменить на P и Q)

ДУ с разделяющимися переменными:

  — ДУ с разделяющимися переменными.

Решение: Разделив на M2(x)*N1(y), получаем уравнение

 Интегрируя, получаем:   +  — общий интеграл

Однородные ДУ:

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество . Например, функция  – однородная второй степени, т. к. .

ДУ однородное, если функция f(x, y)  является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное ДУ часто задаётся в дифференциальной форме  , где M и N – однородные функции одного порядка.

Решение: Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными с помощью подстановки: y=u*x, y’=u’+x’*u, dy=xdu+udx, u=yx

№14

— линейное ДУ первого порядка

Особенности: искомая функция y и её производная y’ входят в уравнение 1 степени, не перемножаясь между собой.

Решение: Делаем замену , где   – функции от x. 

Так как , то после подстановки и  в первоначальное уравнение, получаем  

Группируя члены, получаем уравнение 
Из равенства ,   выведем V и подставим его в  .

Пусть  , тогда получим  . Отсюда выведем U. . Пусть  , тогда функция  — общее решение уравнения

Дифференциальное уравнение , где  — функции от  определенные и непрерывные в некотором интервале , — уравнение Бернулли.

Решение: Делаем замену  и  и решаем так же, как и линейное ДУ.

№15