Базисный минор матрицы

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры были = 0

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца

28. Угол между прямой и плоскостью условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениямиРассмотрим векторы  и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами  и  тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны, т. е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны.

20. Необходимые и достаточные условие экстремума функции.

Необходимое условие экстремума

, если производная существует, т. е. приравниваем первую производную функции к нулю. Либо не существует.

Достаточное условие экстремума

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

24. Уравнение прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой в отрезках:

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:  или, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

23. Правило Лопиталя (для раскрытия неопределённостей вида и ). Если функции y=f(x) и y=(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки х=, стремятся к нулю(или ) при x и существует , то существует также и эти пределы равны, т. е. =.