Асимптотически эффективная оценка

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру ,.

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки. Если оценка состоятельная, то практически достоверно то, что при достаточно большом .

В качестве оценок желательно использовать такие, которые одновременно удовлетворяют требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности. На практике достичь этого удается не всегда, поэтому ради упрощения расчетов целесообразно использовать незначительно смещенные оценки или оценки, обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками.

Интервальные оценки неизвестных параметров статистических распределений

Интервальной оценкой неизвестного параметра называется числовой интервал т. е. интервальная оценка определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр .

Надежностью или доверительной вероятностью оценки по называют вероятность , с которой выполняется неравенство .

Доверительным интервалом для параметра называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном с надежностью определяется по формуле , где n – объем выборки, — выборочное среднее, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), определяемое по приложению 2 из равенства , = — точность оценки.

Оценку называют классической. Из формулы задания классической оценки следует, что при увеличении объема выборки n точность оценки возрастает, а увеличение надежности оценки приводит к возрастанию параметра t и, следовательно, к возрастанию , т. е. увеличение надежности приводит к уменьшению точности оценки. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью при неизвестном (объем выборки n<30) определяется по формуле , где s — «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение.