Учебные материалы по математике | Аргумент комплексного числа | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Аргумент комплексного числа


Применяя формулы суммы, получаем разложение на действительную и мнимую части экспоненты и тригонометрических, а также гиперболических функций.

З. Разложения на действительную и мнимую части:

Если однозначная аналитическая функция отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.

И. Область Dk={ x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции ez, которая отображает ее на область .

Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:Dk→ ℂ . Пусть w — любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения ex=|w| и
eiy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала [2πk, 2π (k+1))), получим z=x+iy∈Dk такое, что exp z=w. Сюръективность доказана.

Следствием предыдущего свойства является

К. Область значений. Область значений функций cos z, sin z, ch z, sh z есть все поле комплексных чисел.

Л. Нули Решением уравнения sin z=0 является множество {πk | k∈ ℤ } . Нули функции cos z — множество { π /2+πk | k∈ ℤ } . Нулями функции sh z является множество { πki | k∈ ℤ} , а нули функции ch z — множество { π/2i+πki | k∈ ℤ } .

Доказательство. Имеет место соотношения sin z=0 тогда и только тогда, когда eiz — e-iz =0 Это равносильно соотношению e2iz =0, что дает 2iz=2πik. Окончательно, z=2πk (k∈ ℤ ). Аналогично доказываются утверждения для остальных функций.□

Функция tg z=sin z /cos z называется тангенсом, а функция th z= sh z/ ch z называется гиперболическим тангенсом. Производные тангенсов вычисляются c использованием известного правила "производная отношения":

(tg z)’=1/cos2z, (th z)’= 1/ch2z.

Область допустимых значений тангенса tg z есть многосвязная область ℂ {π /2+πk | k∈ ℤ }

12  Аргумент комплексного числа

Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число 𝜑 ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i𝜑 ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.

Всевозможные решения уравнения относительно переменной 𝜑, т. е. множество {arg z+2π k ∣ k∈ ℤ } назовем аргументом комплексного числа z и обозначим Arg z. Таким образом Arg z — многозначная функция.

13  Многозначные функции

Примерами многозначных функций являются аргумент Arg z и . Ветвью многозначной функции в области D назовем такую непрерывную однозначную функцию , что для любого . Для некоторых областей D⊆ ℂ можно выделить ветвь многозначной функции с соблюдением непрерывности или аналитичности, а для других нет. Так например, для области и функции нельзя выделить ветвь, а для области

0 1

-1

Рис. Выделение ветви функции Arg z

можно: пусть ψ (z)=arg z+2πkz, где kz — целое число, которое указано на рисунке в той части области D, в которой лежит комплексное число z. Если z лежит на границе, то берется любое из двух возможных целых чисел. Построенная таким образом ветвь будет непрерывной функцией. Теперь можно построить и аналитическую ветвь многозначной функции и в той же области D — . Заметим, что для кольца 0<|z| <R такое построение, с соблюдением аналитичности, невозможно.

Определим

Если z=x — положительное действительное число, то в силу монотонности действительной функции ey, существует только одно действительное число в множестве Ln x. Оно есть не что иное как натуральный логарифм числа x (обозначается ln x).

Предложение. Пусть — показательная форма записи. Тогда

Пример. Вычислим:

Свойства комплексного логарифма таковы.

Л1. Область допустимых значений логарифма — все ненулевые комплексные числа. Если z=rei𝜑 , где r=|z| и 𝜑 ∈ Arg z, то Ln z={ln r+i(𝜑 +2π k) | k∈ ℤ } .

Л2 [производная логарифма] (Ln z)’= 1 / z. (Имеется в виду производная от любой ветви логарифма)

Доказательство. Дифференцируем левую и правую часть соотношения ew=z, считая w функцией от z. Получаем: ew⋅ w’z=1, откуда w’z= 1/ew =1/z.

Следующее свойство вытекает из основного функционального соотношения для экспоненты.

Л3. Для любых ненулевых комплексных чисел z1, z2 и z выполняются равенства:

Ln(z1⋅ z2)=Ln z1+Ln z2; Ln zk=k Ln z (k∈ ℤ ).

С помощью комплексного логарифма можно определить степень любого ненулевого комплексного числа с любым комплексным показателем:

Пример ii={e-π /2-2πk | k∈ ℤ } .

Л4. Для всех ненулевых комплексных чисел имеет место равенство:

Определим теперь обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции:

Arcsin z={ w∈ ℂ | sin w=z} ; Arccos z={ w∈ ℂ | cos w=z} ;

Arcsh z={ w∈ ℂ | sh w=z} ; Arcch z={ w∈ ℂ | ch w=z };

Arctg z={ w∈ ℂ | tg w=z} ; Arcth z={ w∈ ℂ | th w=z} .

Используя комплексный логарифм, установим формулы для вычислений этих многозначных функций. Начнем с решения уравнения ch w=z относительно w. Заменяя ζ =ew, сводим это уравнение к квадратному ζ2-2zζ +1=0, решения которого суть: . Получаем окончательно:

.

Аналогично:

Arccos z=-i Ln(z+√(z2-1)); Arcsh z=Ln(z+√(z2+1) ); Arcsin z=- i Ln(iz+√(1-z2));

Пример Вычислим: ; .

14  Интегрирование функции комплексного переменного

14.1  Кривые на комплексной плоскости

Путем или кривой L на комплексной плоскости называется отображение z=z(t)=x(t)+iy(t) отрезка действительной прямой [a, b ] в комплексную плоскость ℂ. Точка z(a ) называется началом пути L, а точка z(b ) — его конец. Путь L называется замкнутым, если начало совпадает с концом. Образ отображения z(t), т. е. множество {z(t) ∣ t∈ [a, b ]} называется носителем кривой L. Кривая L называется непрерывной, если функции x(t) и y(t), а тем самым и функция z(t) непрерывны. Путь L называется гладким, если существует непрерывная и отличная от нуля производная в любой точке ; для замкнутого пути дополнительно требуется, что бы односторонние производные z'(a ) и z'(b ) совпадали. Путь L называется кусочно гладким, если существует разбиение a =a0<a1<a2<…<an=b отрезка [a, b ] такое, что на каждом отрезке [ai-1, ai] путь L гладок.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод