Аналитическая геометрия в егэ

Аналитическая геометрия в ЕГЭ

В данном методическом пособии будет разобрано решение задач по стереометрии аналитическим способом. Решение задач ЕГЭ аналитическим способом помогает избежать дополнительных построений и необходимости изучения большого числа разнообразных формул. Многие формулы аналитической геометрии содержат одни и те же конструкции, удобные для запоминания.

Теоретическая часть

Для того чтобы начать решение задач необходимо ознакомиться с несколькими базовыми понятиями и приёмами решения. Пусть даны точки A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC), D(xD; yD; zD) и вектора {ax; ay; az}, {bx; by; bz}, {cx; cy; cz}. Тогда расстояние между точками A и B или длина вектора :

Обратите внимание, здесь и далее будет использовано правило «конец минус начало», то есть из соответствующих координат конца вычитаются координаты начала. Таким образом, координаты вектора : {xB-xA; yB-yA; zB-zA;}. Если нам требуется провести прямую через две точки, то уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

И вновь в знаменателе действует правило «конец минус начало». Введём обозначения: xB-xA=l, yB-yA=m, zB-zA=n. Следует помнить, что числа могут получиться любые, поэтому если в знаменателе получился 0, то не нужно воспринимать это как деление на ноль, а понимать как некоторую координату, которая может быть равна любому числу.

Перед тем, как двигаться дальше, рассмотрим некоторые числовые «таблички», которые назовём определителями. Более строгое определение будет дано в курсе высшей математики, нам же нужны лишь приёмы вычисления простейших из них.

Определитель 2˟2 вычисляется по правилу:

Для запоминания рекомендуется представлять схему ↘-↗, где вдоль стрелок идёт умножение. Схема определителя 3˟3 выглядит чуть сложнее:

Для запоминания рекомендуется представлять схему ↘+↘+↘-↗-↗-↗, где вдоль стрелок идёт умножение. Для вычисления необходимо дописать рядом с определителем первые два столбика.

Напомним о скалярном произведении векторов:

Заметьте, что в результате скалярного произведения получается число. Однако существует и векторное произведение векторов:

В верхней строчке написаны так называемые единичные орты, то есть вектора, направленные вдоль осей Ox, Oy, Oz, перпендикулярных друг другу, длина которых равна 1. После раскрытия определителя изложенным выше способом и приведения подобных, получается вектор, координаты которого есть числа, стоящие перед единичными ортами. Последний тип – смешанное произведение векторов:

Здесь результатом вновь будет число.

Напоследок хочется напомнить формулу косинуса угла между векторами и :

Теперь можно вернуться к нашим прямым. Расстояние от точки C до прямой AB:

В числителе стоит модуль векторного произведения. То есть сначала необходимо вычислить векторное произведение, а затем вычислить длину полученного вектора. Косинус угла между двумя прямыми:

Расстояние между двумя прямыми:

В числителе – модуль определителя, так как расстояние не может быть отрицательным числом.

Через три точки можно однозначно провести плоскость, если эти точки не лежат на одной прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C:

После раскрытия определителя и приведения подобных получается конструкция вида: Lx+My+Nz+P=0. Расстояние от точки D до плоскости ABC:

Косинус угла между двумя плоскостями:

Расстояние между двумя плоскостями:

Так как если прямые параллельны, то числа, стоящие перед x, y и z у них одинаковы. Синус угла между прямой и плоскостью:

Векторное и смешенное произведение векторов используется для вычисления площадей и объёмов. Так, площадь треугольника, построенного на векторах и :

А площадь параллелограмма, построенного на тех же векторах:

Объём пирамиды, заданной векторами , и : , а параллелепипеда

Формулы легко запомнить, если подметить одинаковые корни в знаменателе многих дробей. Но теория теорией, и без наглядного объяснения она стоит немного, а потому переходим к примерам.

Практическая часть

Пусть даны точки A(-5; 15; -2), B(3; 3; -11), C(-6; 15; -1), D(-10; 1; -1) и вектора {2; -4; 1}, {0; 2; -1}, {-5; 0; 7}. Тогда расстояние между точками A и B или длина вектора :

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

Расстояние от точки C до прямой AB будем вычислять по действиям. Для начала запишем координаты всех векторов {8;-12;-9}, {-1;0;1}. Теперь находим векторное произведение векторов:

Итак, у нас получился вектор с координатами {-12;1;-12}. Для нахождения его модуля используем уже знакомую формулу:

Осталось всё подставить в формулу:

Продолжим использовать эти три точки и проведём через них плоскость:

Раскрываем определитель по старой схеме:

Приводя подобные, получим уравнение плоскости:

Пора подключить четвёртую точку и найти расстояние до неё:

Осталось найти угол между прямой и плоскостью:

Что не удивительно, так как обе точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости. Тот факт, что угол между прямой и плоскостью равен нулю, в дальнейшем будет служить доказательством того, что прямая и плоскость параллельны, если, конечно, прямая не лежит в плоскости, как в этом случае.

Теперь же допустим, что помимо наших прямой и плоскости есть ещё одна прямая и ещё одна плоскость:

Угол между двумя прямыми:

То есть угол равен: . Расстояние между ними:

Вычисления определителей и всего выражения в целом рекомендуется провести самостоятельно по имеющимся образцам.

Аналогично находим угол между двумя плоскостями:

В итоге угол между плоскостями: .

В качестве упражнений для самостоятельного решения предлагается вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , и объём пирамиды, заданной векторами , и .

Должно получиться и .

Рекомендации

Для решения задачи рекомендуется:

1)  большой наглядный рисунок

2)  выбрать систему координат наиболее удобным образом (в углу, в центре основания и т. п. или поместить в начало координат точку, которая встречается чаще остальных)

3)  указать координаты всех нужных точек

4)  использовать приведённые выше формулы, причём при решении описывать свои действия (например, запишем уравнение прямой по формуле …)

5)  записать ответ на вопрос задачи и/или указать, что утверждение доказано (для задач на доказательство)