Алгоритмы. характеристика алгоритмов письменных вычислений

1.  Алгоритмы. Характеристика алгоритмов письменных вычислений.

Вычисления разбиваются на устные и письменные. Характеристика письменных вычислений:

1) промежуточные результаты записываются, поэтому появляется специальная форма записи: «в столбик» (для деления — «углом»);

2)  выполняются по определенному алгоритму;

3)  в своем составе содержат устные вычисления;

4)  начинают выполняться (кроме деления) с единиц низких разрядов.

Основное внимание при формировании навыков письменных вычислений уделяется введению и усвоению алгоритмов письменных вычислений.

Под алгоритмом в математике понимается «точное, понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке надо выполнять, чтобы решить любую из данного класса однотипных задач (для которых этот алгоритм и предназначен)».

Свойства алгоритмов: детерминированность, дискретность, понятность, результативность, массовость.

Алгоритмы могут предназначаться как исполнителю-человеку, так и исполнителю — машине. Мы рассматриваем алгоритмы письменных вычислений, предназначенные для человека.

Известны различные способы записи алгоритмов: словесная запись, запись с помощью формулы, таблицы, на языке блок-схем, на алгоритмическом языке. Алгоритмы письменных вычислений могут быть записаны с помощью словесной записи или на языке блок-схем.

В зависимости от порядка выполнения действий различают следующие виды алгоритмических процессов: линейные, разветвляющиеся, циклические.

Замечание. Более подробно об алгоритмах читайте’. Л. П. Стойлова. Математика. — М.: 2002. — с.156 — 158.

Рассмотрим в качестве примера один из алгоритмов письменных вычислений: сложение двузначных чисел (в виде блок-схемы).

Задание: самостоятельно продолжите алгоритм.

Видим, что рассматриваемый нами алгоритм является разветвляющимся и циклическим (если в качестве цикла рассматривать сложение разрядных единиц).

Полная словесная формулировка даже для такого частного случая письменного сложения будет достаточно большой, поэтому часто предлагают краткую формулировку:

1)  складываю единицы

2)  складываю десятки

Сущность каждой операции объясняют устно.

Таким образом, алгоритмы письменных вычислений — сложные алгоритмы, состоящие из большого количества шагов, с учетом определенных условий. В то же время, цикличность алгоритмов несколько облегчает процесс их усвоения.

2.  Введение алгоритмов и формирование навыков письменных вычислений.

2(а) Одно из требований стандарта по математике для начальной школы — формирование у учащихся навыков письменных вычислений.

В начальных классах рассматриваются алгоритмы:

—  письменного сложения (со II концентра)

—  письменного вычитания (со II концентра)

—  письменного умножения (с III концентра)

—  письменного деления (с III концентра)

Задание: самостоятельно подобрать числовые выражения для каждого вида алгоритмов, рассмотреть частные случаи.

Пример:

Умножение на трехзначное число Общий случай: 627×453

Частный случай: 627×403; 627×450: 602700×403; 62700×450; 627×8427.

2(6) В соответствии с теорией формирования вычислительных умений и навыков М. А. байтовой в методике формирования навыков письменных вычислений можно выделить 3 этапа: подготовка к введению алгоритма, введение алгоритма, усвоение алгоритма и формирование навыка.

Следует отметить, что этап «введения алгоритма» может быть представлен целой системой уроков, на которых рассматриваются отдельные частные алгоритмы и только в завершении всех этих уроков у учащихся формируется общий алгоритм.

Пример:

II этап: Знакомство с алгоритмом.

Задачи этапа: выделение всех операций (шагов, действий), из которых состоит алгоритм, введение способа записи, словесная формулировка шагов алгоритма (с соответствующими записями).

Выделяют следующую последовательность введения алгоритма (подэтапы):

а) целеполагание;

б) выделение операций (действий, шагов) в алгоритме.

Для этого обычно предлагается найти результат действия, опираясь на устный прием вычислений.

Пример.

Д: 83• 70 = 83■ (7-10) = (83-7)10 = 58110 = 5810 У: какие действия вы выполняли, чтобы решить пример?

Д: 70 = 7-10 83-7 = 581 581-10 = 5810 У: Какое свойство использовали?

Д: Сочетательное свойство умножения.

Введение письменного алгоритма:

—  запись

—  выполнение всех операций (шагов) из пункта б)

—  словесная формулировка алгоритма (с записью на доске, можно в виде блок-схемы)

Пример.

У: Можно ли

">

Д: Да, в Столбике.

У: * (возможные другие варианты)

Маша предложила такую запись: ^ х83

Миша: . Кто сумеет объяснить, как рассуждает каждый из них?

70

У: Кто может, опираясь на одну из записей, объяснить все шаги решения?

Д: 70 = 7-10 83 • 7 = 581 (письменно) 581-10 = 5810 У: Какой способ записи удобнее для таких выявлений?

Д:

У: Попробуйте вместе составить алгоритм умножения на разрядное число.

1  шаг: записываю второе число под первым гак, чтобы нуль остался «в стороне» (чтобы первая отличная от нуля цифра второго множителя оказалась под первой отличной от нуля цифрой первого множителя).

2  шаг: мысленно отбрасываем нули в конце второго множителя и перемножаем получившиеся числа.

3  шаг: к полученному произведению дописываем справа столько нулей, сколько их в конце второго множителя.

4  шаг: читаем ответ.

У: Посмотрите, как эти действия записала Маша:

Воспроизведите алгоритм.

Первичное закрепление. Решаются аналогичные примеры с комментированием.

IIIэтап: Усвоение алгоритма и формирование навыка.

—  идет свертывание проговаривалия

—  рассматриваются частные случаи

—  формируется контрольно-оценочная деятельность

—  реализуется индивидуально-дифференцированный подход

—  увеличивается самостоятельная деятельность детей

—  предлагаются различные виды творческих заданий, многоцелевых заданий

3.  Показатели сформированного вычислительного навыка: правильность, осознанность, автоматизм, рациональность, обобщенность, прогностичность.

Задание по лекции: Самостоятельно рассмотрите алгоритм письменного умножения на двузначное число.