Учебные материалы по математике | Алгоритм вычисления двойного интеграла | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Алгоритм вычисления двойного интеграла


Алгоритм вычисления двойного интеграла

Область на плоскости назовем простой областью:

1) (относительно оси ) если она ограничена сверху линией , снизу (функции и ­непрерывны) и с боков отрезками прямых и (рис. 4); в частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.5);

2) (относительно оси ) если она ограничена слева линией , справа (функции и непрерывны) и сверху и снизу отрезками прямых и (рис. 6, 7).

Тогда имеет место формула перехода от двойного интеграла к повторному

, (3.8)

где -простая область относительно оси ;

, (3.9)

где -простая область относительно оси .

Заметим, что в случае вычисления объема цилиндрических тел интеграл дает площадь поперечного сечения нашего тела (рис.8), следовательно, весь объем будет

(3.10)

Используя формулы (3.2) и (3.7) получим формулу для вычисления массы материальной двумерной пластинки , если известна её плотность

(3.11)

Наиболее простой вид формулы (3.8) и (3.9) принимают в случае прямоугольной области , ограниченной прямыми , , , (рис.9): . (3.12)

Следует заметить, что если область не является простой областью, то ее разбивают на конечное число простых областей , , …, и при вычислении двойного интеграла по области используют третье свойство двойного интеграла.

Образцы решения задач

Пример 1. Вычислить двойной интеграл ,

если область ограничена параболами и (рис.10).

Решение. Область ( см. рис.10) – простая (вида 1). Она ограничена снизу кривой , сверху – кривой , т. е. или (перед радикалом ставим только знак “+”, так как область находится в I квадранте, где ); при любом фиксированном значении из отрезка меняется от до . Поэтому по формуле (3.9) при имеем

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод