Алгоритм вычисления двойного интеграла — примеры
, или
, откуда
. Подставляя полученные выражения в интеграл, получим
.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
, если область
ограничена верхней половиной дуги окружности
и отрезком оси
от точки с абсциссой, равной
до точки с абсциссой, равной
(рис.18).
Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид
или окончательно имеем
.
Найдем область определения этой функции. Так как по определению , то
, то есть
. Верхняя часть дуги окружности лежит в первой четверти, для которой
меняется в пределах от
до
. По формуле (3.17) имеем
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью и параболоидом
(рис.19).
Решение. Сверху данное тело (см. рис.19) ограничено параболоидом , поэтому, воспользовавшись формулой (3.10) для вычисления объема цилиндрического тела, ограниченного плоскостью
плоскости
, имеем
Область (рис.20) есть круг, его границу получим подстановкой
в уравнение
.
Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид ;
;
;
. Угол
меняется от
до 2
.
Учитывая симметрию тела относительно плоскостей и
, воспользовавшись формулой (3.10) , найдем:
Следовательно, .
Пример 4. Вычислить двойной интеграл
, если область
ограничена линиями: дугой окружности
и прямыми
,
.
(рис.21).
Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид:
;
;
;
.
Найдем угол между прямой и осью
. В полярных координатах уравнение прямой примет вид:
;
;
;
.