Алгоритм вычисления двойного интеграла — примеры

, или , откуда . Подставляя полученные выражения в интеграл, получим.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена верхней половиной дуги окружности и отрезком оси от точки с абсциссой, равной до точки с абсциссой, равной (рис.18).

Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид

или окончательно имеем .

Найдем область определения этой функции. Так как по определению , то , то есть . Верхняя часть дуги окружности лежит в первой четверти, для которой меняется в пределах от до . По формуле (3.17) имеем

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью и параболоидом (рис.19).

Решение. Сверху данное тело (см. рис.19) ограничено параболоидом , поэтому, воспользовавшись формулой (3.10) для вычисления объема цилиндрического тела, ограниченного плоскостью плоскости , имеем

Область (рис.20) есть круг, его границу получим подстановкой в уравнение .

Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид ; ; ; . Угол меняется от до 2.

Учитывая симметрию тела относительно плоскостей и , воспользовавшись формулой (3.10) , найдем:

Следовательно, .

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

, если область ограничена линиями: дугой окружности и прямыми , . (рис.21).

Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид: ;

; ; .

Найдем угол между прямой и осью . В полярных координатах уравнение прямой примет вид: ; ; ; .