Алгебраические уравнения 2-ой степени

13. Полиномы, неприводимые над алгебраически замкнутыми полями. Полиномы, неприводимые над полем комплексных чисел.

14. Полиномы, неприводимые над полем действительных чисел.

15. Рациональные корни полиномов. Критерий Эйзенштейна. Полиномы, неприводимые над полем рациональных чисел.

Свойство: . Если существует такое простое число р, что , то неприводимый над полем .

Следствие: существует полином неприводимый над полем .

Свойство: Если и степень полинома (deg f(x)), тогда — неприводимый полином над , равносильно, не имеет рациональных корней.

16. Алгебраические уравнения 2-ой степени над полем комплексных чисел.

17. Алгебраические уравнения 3-ей степени над полем комплексных чисел.

Замена: y=u + v

Схема решения:

1.  Замена

2. 

3. 

4. 

5. 

18. Алгебраическое уравнение 4-ой степени над полем комплексных чисел.

Лемма:

Доказательство:

Следовательно:

Получим уравнение 3-ей степени относительно .

19. Определение полиномов от нескольких переменных. Операции над полиномами от нескольких переменных. Кольцо полиномов от нескольких переменных.

К – коммутативное кольцо без делителя нуля.

Определение: Полиномом (многочленом) от нескольких переменных (от n неизвестных x1, x2,…, xn) называется сумма конечного числа одночленов вида с коэффициентами из к.

. Полином называется определенным над К.

если все коэффициенты при переменных равны нулю.