Алгебраическая форма комплексного числа

1. Множество комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Свойства алгебраических операций над комплексными числами.
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа и свойства операций над комплексными числами в тригонометрической форме.
3. Модуль и аргумент комплексного числа. Показательная форма комплексного числа и свойства операций над комплексными числами в показательной форме. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
4. Комплексное сопряжение. Свойства комплексного сопряжения. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
5. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами.
6. Метрика и окрестность на комплексной плоскости. Предел комплексной последовательности. Бесконечно удаленная точка. Расширенная комплекс-ная плоскость, сфера Римана. Открытое, связное, односвязное множество.
7. Комплексная функция действительной переменной. Комплексная функция комплексного переменного, ее вещественное представление. Предел и непрерывность ФКП. Критерий непрерывности ФКП.
8. Линейная функция, обратная функция, определения и основные свойства.
9. Дробно-линейная функция, степенная функция, радикал (определения и основные свойства).
10. Функция Жуковского, экспонента, логарифм (определения и основные свойства).
11. Тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним (определения и основные свойства).
12. Вещественная и комплексная дифференцируемость ФКП. Теорема Коши-Римана.
13. Аналитичность ФКП. Гармонические функции. Необходимое условие аналитической функции. Существование сопряженной гармонической функции.
14. Интеграл комплексной функции действительной переменной. Интеграл комплексной функции комплексного переменного и его независимость от параметризации.
15. Основные свойства интеграла комплексной функции комплексного переменного. Теорема существования.
16. Первообразная ФКП. Формула Ньютона-Лейбница.

17. Основная теорема Коши для простого контура.
18. Основная теорема Коши для составного контура.
19. Интегральная формула Коши и ее обобщение.
20. Комплексные функциональные ряды, их сходимость. Целый комплексный степенной ряд. Теорема Коши-Адамара.
21. Теоремы о пределе, непрерывности и интегрируемости суммы комплекс-ного функционального ряда. Аналитичность суммы комплексного степенного ряда.
22. Теорема Тейлора для функции аналитической в круге.
23. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Единствен-ность разложения в ряд Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.
24. Теорема Лорана для функции аналитической в кольце.
25. Единственность разложения в ряд Лорана. Неравенства Коши.
26. Нуль и кратность нуля ФКП. Теорема о строении аналитической функции в окрестности нуля и ее следствия.
27. Изолированные особые точки ФКП, их классификация. Кратность полюса.
28. Устранимая ИОТ. Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ.
29. ИОТ типа полюс. Необходимое и достаточное условие полюса. Кратность полюса. Необходимое и достаточное условие полюса кратности k.
30. Существенно особая точка. Необходимое и достаточное условие сущест-венно ИОТ.
31. Вычет функции относительно ИОТ и его связь с рядом Лорана. Вычет относительно устранимой ИОТ, простого полюса, полюса кратности k.
32. Основная теорема о вычетах.
33. Функция-оригинал. Преобразование Лапласа. Теорема существования.
34. Свойство линейности преобразования Лапласа и свойство подобия.
35. Свойства дифференцирования и интегрирования оригинала.
36. Свойства дифференцирования и интегрирования изображения.
37. Свойства запаздывания оригинала и смещения функции-изображения.
38. Свертка оригиналов и ее свойства. Теорема умножения изображений.
39. Теорема умножения оригиналов. Вторая теорема разложения.
40. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений.