Аддитивная и мультипликативная запись группы

.

Аналогично доказывается другой закон сокращения. ▲

5)  В группе каждое из уравнений и имеет единственное решение для любых .

Доказательство: Действительно, т. к. , то элемент является решением уравнения .

Если с — ещё одно решение этого уравнения, т. е. , то имеем

, т. е. . ▲

6)  (Теорема 2).

Аддитивная и мультипликативная запись группы

Аддитивная запись

Пусть , «+» — бинарная операция на . — группа, если:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Группу при этом называют группой по сложению или аддитивной группой.

Мультипликативная запись

Пусть , «∙» — бинарная операция на . — группа, если:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Группу при этом называют группой по умножению или мультипликативной группой.

Примеры групп:

1. Аддитивные группы целых, рациональных, действительных, комплексных чисел. При этом они абелевы (всякое кольцо есть группа по сложению).

2. Множество целых четных чисел аддитивная абелева группа.

3. Множество отличных от нуля элементов любого поля образует абелеву группу по умножению. Эта группа называется мультипликативной группой поля.

Таким образом, мы имеем мультипликативные группы полей рациональных, действительных и комплексных чисел.

4. Группу по умножению составляют все положительные действительные числа. Эта группа коммутативна.

5. Пусть — множество всех корней n-степени из 1 в поле комплексных чисел. Известно, что — конечное множество, содержащее n элементов, т. е. все корни находятся по формуле Легко проверить, что — группа по умножению, притом абелева и конечная порядка n.

Этот пример показывает, что для любого натурального числа n существует конечная мультипликативная группа порядка n.

6. Пусть m — натуральное число. — множество классов вычетов по модулю m. Это множество по сложению образует абелеву конечную группу порядка m. Нейтральным элементом группы является класс , противоположным элементом для класса является класс .

— мультипликативная группа.

7. Множество всех движений плоскости (пространства) относительно их композиции образует группу, притом коммутативную. Действительно, из геометрии известно, что композиция движений f и g есть снова движение; преобразование , обратное движению f, есть также движение; тождественное преобразование, очевидно, является движением, ассоциативный закон выполняется для любых преобразований.

8. Аналогично устанавливается, что множество всех подобий плоскости (пространства), множество всех аффинных преобразований плоскости (пространства) являются группами относительно композиции преобразований.

9. Множество всех квадратных матриц n-ого порядка над полем P является аддитивной абелевой группой.

10. Множество всех обратимых квадратных матриц n-oго порядка на полем P — мультипликативная группа; при некоммутативна.

11. Пусть — конечное n-элементное множество. Взаимно однозначное отображение называется подстановкой n-ной степени.

Подстановку обычно записывают в следующем виде: , указывая во второй строке образы чисел 1, 2,…, п, т. е. . Известно, что существует п! подстановок п-ной степени. Умножение двух подстановок — это результат выполнения сначала подстановки , а затем подстановки . Множество всех подстановок п-ной степени есть группа по умножению, при этом конечная, порядка п!. Эта группа при является некоммутативной. Она называется симметрической группой п-ной степени.