Задачи по теории игр с решением

Задача 1. Швейная фабрика планирует к осени выпуск двух моделей обуви для работников таможенной службы. Сбыт обуви зависит от состояния погоды осенью. Наблюдения за ряд лет в сентябре показали, что в сухую осень можно сшить и продать 350 пар I модели и 1400 пар II модели. В сырую осень продажа I модели составила 600 пар, II модели – 800 пар. Затраты на пошив 1 пары I модели составили 120 ден. ед., II модели – 48 ден. ед. Цена реализации одной пары I модели – 120 ден. ед., II модели – 120 ден. ед. Найти оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую гарантированную среднюю прибыль.

Дано:

У погоды 2 состояния и . В зависимости от этих условий найдем прибыль при разных вариантах. Рассмотрим точку (). Сшили и продали 350 пар I модели и 1400 пар II модели. Прибыль составила:

Точка (). Сшили 350 пар I модели и 1400 пар II модели. Продали 350 пар I модели (сколько сшили) и 800 пар II модели (нет спроса на 600). Прибыль составила:

(убыток по

себестоимости)

Точка (). Сшили 600 пар I модели и 800 пар II модели. Продали 350 пар I модели (сколько требуется, нет спроса на 250 пар) и 800 пар II модели. Прибыль составила:

(убыток по

себестоимости)

Точка (). Сшили и продали 600 пар I модели и 800 пар II модели. Прибыль составила:

Матрица риска прибыли

, поэтому задача не имеет седловой точки.

Пусть предприятие использует свою первую стратегию с частотой , а вторую – с частотой . Если состояние погоды будет сухим (), то прибыль предприятия составит:

v.

При состоянии погоды () прибыль предприятия составит:

v.

Сумма частот равна 1:

.

Имеем

Оптимальным планом выпуска является использование первой стратегии с частотой 0,51 и второй стратегии с частотой 0,49. Тогда:

.

Вывод: для получения средней гарантированной прибыли, равной 48692 ден. единиц предприятие должно сшить 472 пары .

Решение платежной матрицы на ЭВМ (задача «игра с природой»)

Согласно рассмотренной теоремы имеем:

v

v

Получается задача ЛП, которую решают на минимум целевой функции.

1

1

opt=0,00002053

Задача 2. Для отопления помещения необходимо заготовить летом топливо. Расход топлива и цены на него зависят от состояния погоды в зимнее время (зима мягкая, нормальная, суровая):

В летнее время топливо можно купить по цене 10 тыс. руб., а излишки можно продать весной. У покупателя 3 стратегии: I – купить 5 тонн., II – 10 тонн, III — 18 тонн. При этом платежная матрица имеет вид:

Задача 3. Швейное предприятие шьет форменные шапки и фуражки для работников таможенной службы. Головные уборы реализуются через магазин, объем реализации зависит от погоды. По данным наблюдений прошлых лет в условиях теплой осени можно продать 200 шапок и 800 фуражек, а при холодной – 300 шапок и 270 фуражек. Затраты на пошив шапки и фуражки составляют соответственно 120 и 20 составляют ден. единиц. Цена реализации 210 и 30 ден. ед. Составить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде среднюю гарантированную прибыль.

Задача 4. Предпринимателю известны возможные количества единиц каждого из его товаров, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента на рынке:

Матрица игры

Необходимо дать предпринимателю рекомендации, при использовании которых среднеожидаемое количество проданных товаров будет наибольшим, что бы ни предпринимал конкурент.

Задача 5. Банк заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества. Стремясь сделать покупку как можно более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, которая может быть как правдивой (), так и заведомо ложной ().

Продавец может как поверить информации (), так и не дать ей веры (). Условия задачи можно представить в виде игровой матрицы, содержащей данные о величине возможной успешности сделки – приросте стоимости по отношению к вложенным средствам:

Матрица игры

Необходимо выбрать такую стратегию банка, при которой результат окажется максимально возможным.