Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Решение задач по математике Сборник задач по дискретной математике

Сборник задач по дискретной математике

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Даны множества , , . Найти множества .

2. Даны множества , . Найти множества .

3. Рассмотрим Q – множество всех рабочих цеха и его подмножества: K – квалифицированные рабочие; В – ветераны цеха; С – рабочие со средним образованием; Н – рабочие с неполным средним образованием. Что означают записи: ? Изобразить все множества на диаграмме Венна.

4. Рассмотрим Q – множество автомашин в гараже и его подмножества: Л – легковые автомашины; Г – грузовые автомашины ; О – отечественные машины; И – импортные машины; К – машины красного цвета; Р – машины на ремонте. Что означают записи:

? Изобразить все множества на диаграмме Венна.

5. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов – и во сколько раз?

6. Проверить правильность следующих рассуждений: 1) если всех хищников можно приручить и всех львов можно приручить, то все львы – хищники; 2) все следователи – юристы. Некоторые следователи имеют высшее образование. Значит, все юристы имеют высшее образование; 3) все кошки являются рыбами. У всех рыб четыре ноги. Значит, у кошки четыре ноги.

7. Среди 35 туристов только английским языком владеют 11 человек, английским и французским – 5 человек, 9 человек не владеют ни английским, ни французским. Сколько человек владеют только французским языком?

8. Группа из 92 студентов собралась в поход. Из них 47 студентов приготовили бутерброды с колбасой, 38 – с сыром, 42 – с ветчиной. 28 – с колбасой и сыром, 31 – с колбасой и ветчиной, 26 – с сыром и ветчиной. Взяли с собой бутерброды всех трех сортов 25 студентов, а некоторые взяли только по пакету молока. Сколько было таких, которые взяли только молоко?

9. Из 220 студентов 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

10. Пусть множество AÌN и каждый элемент А есть число, кратное или 2, или 3, или 5. Найти число элементов множества А, если среди них имеется: 70 чисел, кратных 2; 60 чисел, кратных 3; 80 чисел, кратных 5; 32 числа, кратных 6; 35 чисел, кратных 10; 38 чисел, кратных 15; 20 чисел, кратных 30.

11. Все участники туристической поездки владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. 6 из них владеют английским языком, 6 – немецким, 7 – французским, 4 – английским и немецким, 3 – немецким и французским, 2 – французским и английским, 1 турист владеет английским, французским и немецким. Сколько туристов в группе?

12. Из 100 опрошенных студентов 50 изучают химию, 53 – математику, 42 – физику, 15 – химию и физику, 20 – физику и математику, 25 – математику и химию, 5 студентов изучают все три предмета. Сколько студентов изучают хотя бы один из перечисленных предметов?

13. Даны множества . Построить их на числовой прямой и найти множества АÈВ, АB, BA, AÇB, АÅВ.

14. Построить на числовой прямой множество, заданное системой неравенств: .

15. Построить на числовой плоскости множества А=, В=. Найти АÈВ, АB, BA, AÇB, АÅВ.

16. Построить на числовой плоскости множества , . Найти АÈВ, АB, BA, AÇB, АÅВ.

17. Построить на числовой плоскости множества , , . Найти множество .

18. Построить на числовой плоскости множества , , . Найти множество .

19. Существуют ли такие множества А, В, С, что АÇВ¹Æ, АÇС=Æ и (АÇB)C=Æ?

20. Определить (графически), в каком отношении (XÌY, YÌX, Y=X) находятся множества X и Y, если: 1) X=AÈ(BC); Y=(AÈB)(AÈC); 2) X=(AÇB)C, Y=(AC)Ç(BC); 3) X=A(BÈC), Y=(AB)È(AC).

21. Проверить справедливость включения (AÈC)BÍ(ABC

22. Доказать, что .

23. Доказать, что .

24. Доказать, что .

Доказать тождества

— исходя из определений операций;

— на основе законов алгебры множеств.

Проиллюстрировать доказательство диаграммами Венна.

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. Определить операции È, Ç, через: 1) Å и Ç; 2) Å и È; и Å. Определить (если это возможно) через Ç и È.

Доказать равенства:

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

41. .

42. Доказать, что сумма является полным квадратом.

Доказать неравенства:

43. .

44. .

45. .

46. .

47. .

48..

49. .

Доказать делимость чисел:

50. .

51. .

52. .

53. .

54. .

55. .

56. Пусть положительные числа, такие, что . Доказать, что .

57. Пусть произвольные положительные числа. Доказать, что .

58. Пусть . Доказать, что .

59. Определить общий член последовательности, заданной рекуррентным соотношением , если а1=0.

60. Сколько подмножеств имеет n-элементное множество?

61. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять монетами по 3 и 5 копеек.

62. На плоскости проведено n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей они разбивают плоскость?

63. Доказать, что .

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

64. Пусть U – множество дней недели. Выступая в роли эксперта, запишите следующие нечеткие множества: – начало недели; – середина недели; – конец недели; – не начало, но и не конец недели. Есть ли среди определенных Вами функций принадлежности унимодальные?

65. Пусть – возможный возраст человека. Выступая в роли эксперта, постройте графики функций принадлежности следующих нечетких множеств: – молодой; – старый; – очень молодой; – не старый. Сравните полученные Вами графики с графиками Ваших коллег. Если есть различия, попытайтесь объяснить причины этих различий.

66. Пусть U – множество дисциплин, изучаемых в текущем семестре. Присвойте номер каждой дисциплине и, выступая в роли эксперта, запишите следующие нечеткие множества: – мне нравится эта дисциплина; – я не понимаю эту дисциплину; – мне не нравится эта дисциплина; – я бы хотел изучать эту дисциплину глубже. Представьте разложение каждого из нечетких множеств по уровням.

67. Пусть U – множество неотрицательных действительных чисел, на котором заданы функции принадлежности следующих нечетких множеств: ; ; ; . Для каждого из этих множеств требуется:

— построить график функции принадлежности;

— записать разложение по множествам уровня;

— записать приближенное дискретное разложение, разбив отрезок [0, 1] на пять равных частей.

68. Пусть U – цены автомобилей, 4≤u≤5000 (у. е.). Выступая в роли эксперта, постройте графики функций принадлежности следующих нечетких множеств: – цены автомобилей для среднего класса; – цены автомобилей для богатых людей; – цены автомобилей для небогатых людей. Для каждой кривой запишите функцию принадлежности аналитически. Запишите разложения по множествам уровня каждого из нечетких множеств. Запишите приближенное дискретное разложение, разбив отрезок [0, 1] на десять равных частей.

69. Даны нечеткие множества: и . Требуется:

— записать множества ; ;

— сделать два чертежа: на одном изобразить множества , на втором – множества ;

— вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех шести множеств;

— вычислить индексы нечеткости по евклидовой метрике для всех шести множеств.

70. Пусть – нечеткое множество, заданное на множестве неотрицательных действительных чисел функцией принадлежности . Требуется:

— записать множества ;

— построить графики функций принадлежности множеств ;

— вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех трех множеств;

— вычислить индексы нечеткости по евклидовой метрике для всех трех множеств.

71. На универсальном множестве заданы нечеткие множества , , . Найти множества ; ; ; ; ; ; ; ; . Привести графическую интерпретацию выполненных операций.

72. На универсальном множестве U=[0, 3] заданы нечеткие множества и . Требуется:

— построить графики функций принадлежности;

— записать множества ; ; ; ; ; и построить графики их функций принадлежности.

73. Доказать, что для операций над нечеткими множествами выполняются законы ассоциативности, идемпотентности, поглощения, действия с константами, де Моргана, но не выполняются закон противоречия и закон исключения третьего (свойства дополняемости операций пересечения и объединения), т. е. в общем случае справедливы соотношения ; .

74. Даны нечеткие числа: а – «немного больше 3» и b – «примерно 3», если и . Выполнить арифметические операции и сравнить нечеткие числа с дискретными носителями.

75. Пусть является носителем следующих нечетких чисел: a – «в городе К проезд на метро стоит приблизительно 8 руб.»; b – «проезд на маршрутке в этом городе стоит приблизительно 15 руб.»; c – «мне надо проехать на метро раз пять»; d – «мне надо проехать на маршрутке, по крайней мере, раза три». Требуется:

— выступая в роли эксперта, записать нечеткие числа a, b, c, d в форме объединения точечных нечетких множеств;

-найти нечеткое число х – «примерная сумма расходов на транспорт в городе К»;

— разложить нечеткие числа a, b, c, d и х по множествам α-уровня, если ;

— построить графики функций принадлежности чисел a, b, c, d и х.

76. Пусть: а – «немного больше 3» и b – «примерно 5», причем ; . Требуется:

— разложить нечеткие числа a, b по множествам α-уровня, если ;

— построить графики функций принадлежности этих чисел, используя полученные разложения;

— записать функции принадлежности и построить их графики для чисел ;

— сравнить числа a и b.

77. Доказать, что нечеткие числа a и b являются числами -типа, если ; . Выполнить над ними все арифметические операции и сравнить эти числа.

78. Прибыль коммерческой фирмы формируется из выручки трех магазинов и некоторой статьи расходов. При анализе продаж магазинов было установлено следующее:

— первый магазин в течение месяца обеспечивает уровень продаж на сумму от 40 до 100 тыс. руб. в зависимости от величины спроса, но с наибольшей вероятностью можно ожидать сумму от 50 до 70 тыс. руб.;

— второй магазин надежно обеспечивает высокий уровень продаж на сумму 100 – 110 тыс. руб.;

— третий магазин ненадежен и обеспечивает уровень продаж не более 20 тыс. руб. в месяц.

Расходы могут находиться в пределах от 50 до 100 тыс. руб. в месяц, но с наибольшей вероятностью составят 80 тыс. руб. Определить прибыль фирмы.

ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ

79. Пусть . Изобразить R1 и R2 графически, проверить, является ли отношение R2 рефлексивным, симметричным, транзитивным. Найти матрицу отношения .

а) ;

б) .

80. Найти область определения, область значений отношения R. Является ли отношение R рефлексивным, симметричным, транзитивным?

а) ;

б) .

81. Пусть множество задает клетки шахматной доски. Опишите следующие бинарные отношения на S:

;

. Будут ли эти отношения эквивалентностями? Опишите отношение .

82. Найти для следующих отношений, установить их свойства: а) ;

б) ; в) ;

г) .

83. Сотрудниками фирмы являются генеральный директор, главный инженер, главный бухгалтер, начальник цеха, кассир, рабочий. Построить матрицу бинарного отношения R – «начальник – подчиненный». Найти обратное отношение и композицию .

84. Два бетонных завода получают песок из одного карьера и поставляют конструкции на три ДСК. Построить матрицу бинарного отношения R – «поставщик – потребитель». Найти обратное отношение и композицию .

85. Бинарные отношения R1, R2 заданы своими матрицами: , . Какими свойствами они обладают? Постройте графы, изображающие эти отношения.

86. Пусть на множестве определено отношение R. Построить матрицу отношения, указать его свойства. Задать матрицами отношения , если:

1) R — «быть меньше»; 2) R — «отличаться на 2»; 3) R — «иметь общий делитель, отличный от 1».

87. На множестве A={2, 3, 10, 12, 15} определено бинарное отношение . Какими свойствами оно обладает?

88. Пусть Х – непустое множество, на котором задана функция . Отношение R определено равенством . Определить свойства этого отношения.

89. Отношение R на множестве задано матрицей . Выполнить унарные операции над ним, определить свойства исходного и полученных отношений.

90. Пусть на множестве отношения R1 и R2 заданы матрицами и соответственно. Выполнить бинарные операции над отношениями, определить свойства исходных и полученных отношений.

91. Пусть на множестве А={1, 3, 5, 7} задано отношение R: . Определить свойства этого отношения, выполнить унарные операции над R.

92. Пусть А={1, 3, 5, 7} и R задано на А: . Определить свойства этого отношения, выполнить унарные операции над R.

93. Доказать, что для любых бинарных отношений R, R1, R2 справедливы равенства:

94. Доказать, что для любой функции f справедливы включения: а) ; б) ; при каком условии включение можно заменить равенством? в) .

95. Пусть П – множество прямых на плоскости. Будут ли эквивалентностями следующие отношения:

— параллельность прямых;

— перпендикулярность прямых?

96. На множестве целых чисел Z определено бинарное отношение R: . Является ли оно отношением эквивалентности?

97. На множестве рациональных чисел Q определено бинарное отношение R: . Является ли оно отношением эквивалентности? Описать классы эквивалентности, содержащие числа 1.5; –1; 0.1.

98. На множестве N´N рассмотрим отношение R: . Доказать, что R — отношение эквивалентности.

99. На множестве N´N рассмотрим отношение R: . Доказать, что R — отношение эквивалентности.

100. Отношение R задано на множестве натуральных чисел N правилом: . Является ли R отношением порядка?

101. Пусть – произвольный конечный алфавит. Обозначим через множество слов длины n в этом алфавите (словом называется любая последовательность символов алфавита), через – множество всех слов в алфавите А. Определим отношение R1 на множестве . Пусть , ; тогда для всех номеров k от 1 до n выполняется и хотя бы для одного k имеет место строгое неравенство . Определим отношение R2 на множестве . Пусть , ; тогда существует такое k в интервале от 1 до n, что при l<k выполняется неравенство или n<r и первые n символов слова v совпадают со словом u. Являются ли отношения R1 и R2 отношениями частичного (линейного) порядка?

102. Установить взаимно однозначное соответствие между N и Z.

103. Установить взаимно однозначное соответствие между (0, 1) и R.

104. Доказать равномощность множеств [0, 1] и [a, b].

105. Доказать, что отрезок [0, 1] равномощен интервалу (0, 1).

106. Доказать, что мощность булеана множества больше мощности самого множества.

107. Привести пример множества, мощность которого больше с.

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

108. Даны высказывания: а: «идет дождь»; b: «прогулка отменяется»; с: «я вымокну»; d: «я останусь дома». Запишите следующие высказывания на языке алгебры логики: «Будет отменена прогулка или не будет, я останусь дома, если идет дождь»; «Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома». Переведите следующее высказывание с языка алгебры логики .

109. Следующее составное высказывание расчленить на простые и записать символически, введя буквенные обозначения для простых составляющих. «Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна стратегия «малого корабля» (экономии издержек). Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг — стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона фирмы. Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта.»

110. Представить сложное высказывание: «Рост тарифов на электроэнергию приведет к росту цен на промышленную продукцию, а это, в свою очередь, обусловит рост цен на продукцию энергомашиностроения» в виде логической формулы.

111. Представить сложное высказывание: «Снижение доходов населения ведет к снижению спроса на товары народного потребления, а это приводит к свертыванию производства и росту безработицы» в виде логической формулы.

112. Представить сложное высказывание: «Чем больше работаешь над бизнес-проектом и анализируешь альтернативы, тем быстрее справишься с заданием и выберешь лучший вариант» в виде логической формулы.

113. Товар характеризуется четырьмя свойствами х1, х2, х3, х4. Если любое свойство xi равно по своим характеристикам сходным свойствам аналогичных товаров-конкурентов или превосходит их, то значение этого свойства полагаем равным 1, в противном случае – 0. Если хотя бы три свойства товара равны свойствам товаров-конкурентов или превосходят их, то считаем, что данный товар будет пользоваться спросом на рынке. Записать логическую формулу, отражающую спрос на данный товар.

114. Найти логические значения х и у, при которых выполняются равенства: 1) ; 2) .

115. Пусть . Определить логические значения следующих сложных высказываний: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

115. Из трех данных высказываний А, В, С состроить такое высказывание, которое: 1) ложно тогда и только тогда, когда все данные высказывания истинны; 2) истинно тогда и только тогда, когда истинны высказывания А и В; 3) ложно тогда и только тогда, когда ложны высказывания А и В; 4) истинно тогда и только тогда, когда все данные высказывания либо истинны, либо ложны; 5) ложно тогда и только тогда, когда ложно лишь высказывание С.

116. Определить логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений предыдущих высказываний: 1) ;

2) ;

3) ; 4) 

117. Построить таблицы истинности для формул: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

118. Построив таблицы истинности, установить, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

119. Проверить равносильность формул (без построения таблиц истинности): 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5); 6) ; 7) ; 8) .

120. Упростить формулы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

121. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил: а) «Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»; б) «Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»; в) «Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра». Подумав немного, он понял, что три высказывания можно лаконично объединить в одно. Каким должно быть это высказывание?

122. Жили 4 друга: Альберт, Карл, Дитрих и Фридрих. Фамилии у них были те же самые, что и имена, но так, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковыми. Кроме того, фамилия Дитриха не Альберт. Определить фамилию каждого мальчика, если известно, что имя мальчика с фамилией Фридрих есть фамилия мальчика, имя которого есть фамилия Карла.

123. По обвинению в совершении преступления задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, а третий — известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а чиновник в одном случае говорил правду, в другом — ложь. Вот что они утверждали. Браун: «Я совершил это, Джон не виноват». Джон: «Браун не виноват, преступление совершил Смит». Смит: «Я не виновен, виноват Браун». Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

124. Брауну, Джону и Смиту предъявлено обвинение в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике», Джон сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд» и не в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них правильно указал либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета и какой марки был автомобиль?

125. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые 4 места. Когда их спросили о распределении мест, то они дали следующие ответы:

— Сергей — первый, Роман — второй;

— Сергей — второй, Виктор — третий;

— Юрий — второй, Виктор четвертый.

Как распределились места, если в каждом из ответов только одно утверждение истинно?

126. На вопрос, кто из трех студентов изучал математическую логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучал логику?

127. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи.

— Клод утверждал, что Жак лжет.

— Жак обвинял во лжи Дика.

— Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.

Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?

128. Судейская коллегия, состоящая из трех человек, выносит решение большинством голосов при тайном голосовании. Постройте такую электрическую схему, чтобы голосование «за» любого члена коллегии производилось нажатием кнопки, и в случае принятия решения загоралась сигнальная лампа.

129. Комиссия для голосования состоит из трех рядовых членов и председателя. Спроектируйте электрическую цепь, показывающую результаты тайного голосования, если оно происходит следующим образом каждый член комиссии при голосовании «за» нажимает кнопку; лампочка загорается лишь в тех случаях, если предложение собрало большинство голосов, либо число голосов «за» и «против» равное, но «за» подан голос председателя.

130. Построить РКС для формул: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;10) .

Привести к ДНФ и КНФ:

131. ;

132. ;

133. .

Найти СДНФ и СКНФ для формул (относительно списка нефиктивных переменных):

134. ;

135. x1&(xх2);

136. (xх2)®(хx1);

137. ;

138. ;

139. .

140. ;

141. Доказать равносильность формул и сравнением их совершенных нормальных форм.

142. Найти более простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы: 1) x&yÚxyÚØx&y; 2) (xÚØy)&(ØxÚy)&(ØxÚØy); 3) x&y&zÚØx&y&zÚx&Øy&z; 4) (xÚyÚØz)&(ØxÚyÚz)&(xÚØyÚØz).

143. Используя критерий тождественной истинности и тождественной ложности формулы, установить, будет ли данная формула тождественно истинной, тождественно ложной или выполнимой: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

144. Сколько существует различных булевых функций от n аргументов?

145. На скольких оценках списка переменных принимает значение 1 следующая булева функция от n переменных? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

146. По заданной таблице истинности найти формулы, реализующие функции, и придать им более простой вид.

х1

х2

х3

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

147. Построить формулы в СДНФ и СКНФ, реализующие функции f(x, y, z), если известно, что: 1) f(0,1,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=1; 2) f(1,0,1)=f(1,1,0)=1 (остальные значения функции равны 0), и придать им более простой вид.

148. Указать формулы с СДНФ и СКНФ, выражающие функции: 1)Û большинство переменных равно 1; 2) Û . Упростить формулы и построить для них РКС.

АЛГЕБРА ПРЕДИКАТОВ

Понятие предиката. Операции над предикатами

150. Пусть . Найти множества истинности предикатов: 1) A(x)&B(x); 2) A(xB(x); 3) A(x)&ØB(x); 4) A(xB(x); 5) A(x)®ØB(x).

151. Изобразить на координатной плоскости множества истинности предикатов: 1) 2) 3); 4) .

152. На множестве действительных чисел заданы три предиката Р(x): «х целое число»; Q(х): « целое отрицательное число»; R(х): « целое положительное число». При каких значениях х из данных трех предикатов ложен один и только один?

153. На множестве натуральных чисел N заданы три предиката Р(n): «число кратно 7»; Q(n): « кратно 7»; R(n): «». При каких значениях n из данных трех предикатов два истинны и один ложен?

154. Пусть А(х, у), В(х, у) – двуместные предикаты, определенные на множестве упорядоченных пар действительных чисел: , . При каком значении параметра «а» множество истинности предиката А(х, у)&В(х, у) а) состоит только из одного элемента; б) состоит более чем из одного элемента; в) не содержит ни одного элемента?

155. При каких значениях параметра «а» множество истинности предиката Р: «» представляет собой промежуток а) [2, ¥); б) (– ¥, 2]?

156. Привести примеры таких значений «а», при которых данное высказывание: а) истинно; б) ложно. 1) ; 2) ; 3); 4) .

157. Рассмотрим два определения легкой контрольной работы: 1) контрольная работа называется легкой, если каждую задачу решил хотя бы один ученик; 2) контрольная называется легкой, если хотя бы один ученик решил все задачи. Может ли контрольная работа быть легкой в смысле первого определения и не легкой в смысле второго? Может ли контрольная быть легкой в смысле второго определения и не легкой в смысле первого?

158. Записать, введя необходимые предикаты, в виде формулы алгебры предикатов, следующие утверждения: 1) если каждый разумный философ – циник, и только женщины являются разумными философами, то тогда, если существуют разумные философы, то некоторые из женщин – циники; 2) все политики – лицедеи; некоторые лицедеи – лицемеры; значит, некоторые политики – лицемеры; 3) глупец был бы способен на это; я на это не способен; следовательно, я не глупец.

159. Пусть А(х), В(х) – одноместные предикаты, определенные на множестве М, такие, что . Доказать, что .

160. Известно, что . Показать, что , а .

161. Известно, что . Показать, что тогда .

162. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), если ?

163. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), если ?

164. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), если ?

165. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), если ?

166. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), если ?

167. С помощью логических символов сформулировать следующие утверждения: 1) функция ограничена снизу на отрезке [a, b]; 2) функция ограничена сверху на отрезке [a, b]; 3) функция ограничена на отрезке [a, b]; 4) функция монотонно возрастает на отрезке [a, b]; 5) функция монотонно убывает на отрезке [a, b]; 6) функция монотонна на отрезке [a, b]; 7) функция четная; 8) функция нечетная; 9) функция общего вида; 10) функция не ограничена на отрезке [a, b]; 11) функция не монотонна на отрезке [a, b].

168. С помощью логических символов записать утверждения о том, что: 1) ; 2) ; дать словесную формулировку; 3) ; 4) ; дать словесную формулировку.