Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Решение задач по математике Расчетная работа по математической статистике

Расчетная работа по математической статистике

Расчетная работа по математической статистике

ПОДБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ПРОВЕРКА ЕГО СОГЛАСИЯ ПО КРИТЕРИЮ

Задание для расчётно-графической работы.

I. Из приложения 1 или 2 взять выборку объёма n=150. Выборку произвести с использованием таблиц случайных чисел приложении 4 (или каким – либо другим методом, указанным преподавателем). Варианты индивидуальных заданий даны в приложении 3.

2. По выборке найти статические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения ( и S ).

3. Построить гистограмму.

4. Подобрать закон распределения случайной величины (например: нормальный, показательный, равномерный).

5. Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .

6. Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных.

Решение:

1)  Возьмем выборку:

37

105

266

201

28

219

55

489

76

501

71

282

49

4

78

281

87

176

169

7

125

68

140

209

100

2

206

290

217

11

326

81

215

30

297

128

292

27

182

14

245

70

286

13

318

202

179

53

116

305

165

21

110

81

459

123

314

41

167

205

211

75

3

59

81

52

122

172

291

306

57

115

2

48

1

55

480

191

241

336

376

186

111

21

498

116

198

304

85

540

20

283

34

153

88

2

88

38

31

107

28

524

43

73

7

2

73

211

7

210

152

328

86

49

95

159

144

301

258

199

214

104

216

17

68

197

448

294

291

4

105

256

8

9

8

404

108

182

278

182

134

194

83

2

126

51

178

10

431

59

2)  Упорядочим по возрастанию

1

10

38

68

88

123

178

209

281

318

2

11

41

70

88

125

179

210

282

326

2

13

43

71

95

126

182

211

283

328

2

14

48

73

100

128

182

211

286

336

2

17

49

73

104

134

182

214

290

376

2

20

49

75

105

140

186

215

291

404

3

21

51

76

105

144

191

216

291

431

4

21

52

78

107

152

194

217

292

448

4

27

53

81

108

153

197

219

294

459

7

28

55

81

110

159

198

241

297

480

7

28

55

81

111

165

199

245

301

489

7

30

57

83

115

167

201

256

304

498

8

31

59

85

116

169

202

258

305

501

8

34

59

86

116

172

205

266

306

524

9

37

68

87

122

176

206

278

314

540

1. Случайную величину обозначим X. Находим:

Возьмём h = 65 ч. Левый конец первого интервала возьмём 0,5 мк. Из приведённых значений найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

Таблица 1

i

i

1

0,5 — 65,5

44

6

325,5 — 390,5

4

2

65,5 — 130,5

35

7

390,5 — 455,5

3

3

130,5 — 195,5

19

8

455,5 — 520,5

5

4

195,5 — 260,5

20

9

520,5 — 585,5

2

5

260,5 — 325,5

18

2. построим гистограмму частот (рис1).

Рис. 1

3. Для каждого частичного интервала найдем по формуле:

Для удобства вычислений необходимые расчеты поместим в таблицу 2.

Таблица 2

i

1

0,5 — 65,5

33

44

1089

1452

47916

2

65,5 — 130,5

98

35

9604

3430

336140

3

130,5 — 195,5

163

19

26569

3097

504811

4

195,5 — 260,5

228

20

51984

4560

1039680

5

260,5 — 325,5

293

18

85849

5274

1545282

6

325,5 — 390,5

358

4

128164

1432

512656

7

390,5 — 455,5

423

3

178929

1269

536787

8

455,5 — 520,5

488

5

238144

2440

1190720

9

520,5 — 585,5

553

2

305809

1106

611618

150

24060

6325610

Вычислим значения и S по формулам:

По виду гистограммы (рис.1) можно предположить, что исследуемый признак распределен по показательному закону распределения.

Проверка гипотезы о показательном распределении
В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i – й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот ni (число вариант выборки, попавших в i – й интервал). Вычислим по этим данным  и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле:
 
Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2 (здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка).
   

4. Найдем теоретические частоты , попавшие в i – ый интервал, используя формулы

при :

41,9

33,4

14,1

19,7

16,3

5,6

3,3
8,7

1,03

Расчёт приведён в таблице 3.

i

1

0,5 — 65,5

44

41,9

0,105

2

65,5 — 130,5

35

33,4

0,076

3

130,5 — 195,5

19

14,1

1,703

4

195,5 — 260,5

20

19,7

0,005

5

260,5 — 325,5

18

16,3

0,17

6

325,5 — 390,5

4

5,6

0,46

7

390,5 — 455,5

3

3,3

0,027

8

455,5 — 520,5

5

8,7

1,57

9

520,5 — 585,5

2

1,03

0,91

150

5,026

Таблица 3

5. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости

= 0,05 и числе степеней свободы Из таблицы (см. приложение 3) находим

В нашем примере , т. е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с показательным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с показательным законом распределения.