Решение задач по математике | Применение функции комплексной переменной для решения прямой двухмерной задачи магниторазведки

Лекция 6. Применение функции комплексной переменной для решения прямой двухмерной задачи магниторазведки.

1. Прежде всего отметим, что значительные успехи в развитии математической теории интерпретации как гравитационных, так и магнитных аномалий был достигнут благодаря применению теории функции комплексной переменной (ТФКП). Большой вклад в изучение таких вопросов как трансформации полей, решение прямых задач, анализ единственности и эквивалентности решений внесли В. Н.Страхов, В. И. Цирульский, М. С.Жданов и ряд других исследователей.

Эта лекция будет посвящена решению прямой задачи магниторазведки на основе применения ТФКП. В её первой части будет показано, каким образом возможно применение ТФКП для анализа геопотенциальных полей. При этом, учитывая тот факт, что решение прямой задачи магниторазведки тесно связано с решением прямой задачи гравиразведки, в ней мы будем рассматривать и некоторые вопросы прямой двухмерной задачи гравиразведки.

2. Введем систему координат с осью oX, направленной вправо, и осью oZ — вверх, т. е. так, как это принято в теории функции комплексной переменной, а не так, как мы это делали до сих пор (ось oX — вправо, ось oZ — вниз).

В этой системе координат точку, в которой будем определять значения поля, с координатами (x, z) обозначим комплексным числом s = x+iz. Здесь i — мнимая единица. Соответственно, точку с координатами (x, z) в которой будет располагаться источник поля (точка интегрирования), обозначим через s = x+iz.

3. Так как в области свободной от источников гравитационные и магнитные поля удовлетворяют уравнению Лапласа, то для них справедливы следующие соотношения:

;

Здесь под вектором понимается вектор напряженности гравитационного поля с компонентами gx и gz (сила притяжения), а под вектором — вектор напряженности магнитного поля.

Полученные соотношения являются условиями Коши-Римана для следующих комплексных функций:

Так как эти функции удовлетворяют условиям Коши-Римана, то они являются аналитическими, и соответственно носят названия комплексной напряженности гравитационного поля и комплексной напряженности магнитного поля.

Здесь надо сделать следующее замечание. Функции следующего вида

так же удовлетворяют условиям Коши-Римана, и, следовательно, с их помощью могут быть определены комплексные напряженности гравитационного и магнитного полей. Возможны и другие представления комплексных напряженностей. Однако в дальнейшем мы будем использовать первое определение, которое применяется в работах В. Н.Страхова.

4. Введем понятие комплексного гравитационного и магнитного потенциалов следующими соотношениями:

где Vg — скалярный гравитационный, а Um — скалярный магнитный потенциалы, Фg и Фm — сопряженные к ним гармонические функции. Причем компоненты гравитационного и магнитного полей определяются соотношениями:

Напряженности гравитационного и магнитного полей будут определяться через свои потенциалы следующим образом:

Для того, чтобы показать, что это действительно так нужно вспомнить, как выражается дифференцирование по комплексной переменной s через действительные переменные x и z: . Тогда

5. Получим выражение для комплексной напряженности гравитационного поля от бесконечной материальной линии, имеющей координаты (x, z) и линейную плотность dl . Для этого вспомним выражения для горизонтальной и вертикальной составляющих гравитационного поля, создаваемых такой линией. Они представляются следующими выражениями:

Тогда для комплексной напряженности гравитационного поля можно записать:

Здесь надчеркивание символов означает их комплексное сопряжение.

Стоит обратить внимание, на сколько простое и элегантное выражение приобрела запись напряженности гравитационного поля от линии по сравнению с покомпонентной записью. Но справедливости ради стоит отметить, что использование векторной алгебры также позволило бы выразить напряженность поля достаточно компактной записью — .

6. Получим теперь выражения для комплексной напряженности магнитного поля, создаваемого бесконечной дипольной линией. Для этого в точку s+ поместим положительный заряд, а в точку s — — отрицательный. Расстояние между этими точками обозначим через Dl, а точку на середине этого расстояния — s. Тогда, используя только что полученное выражение для комплексной напряженности поля, создаваемой линией нагруженной зарядами, и применяя экспоненциальную запись комплексного числа, запишем

Теперь устремим Dl к нулю. Тогда , причем это число конечное. Тогда — комплексный момент дипольной линии. В результате для комплексной напряженности магнитного поля можно записать , или в системе CGSM — . В дальнейшем в этой лекции мы будем пользоваться системой CGSM и, соответственно, использовать последнюю запись при дальнейших выводах.

7. Комплексные потенциалы гравитационного и магнитного полей будет иметь вид:

что можно проверить простым дифференцированием, а высшие производные будут определяться следующими выражениями:

8. Решение прямой задачи от некоторой области D с заданной плотностью d или намагниченностью сводится к вычислению следующих площадных интегралов:

где J = Jx + iJz — комплексная намагниченность области D.

9. Теоремма Пуассона о связи гравитационного и магнитного полей в комплексной форме будет формулироваться следующим образом.

Пусть в некоторой области D намагниченность и плотность связаны соотношением J(x, z) = k×d(x, z), где k=kx+ikz. Тогда, если argJ = argk = const, и отношение модуля намагниченности к модулю плотности постоянна (), то справедливо соотношение . Полученное соотношение выражает теорему Пуассона в комплексной области. При этом не предполагается постоянства намагниченности и плотности, как это делалось при ее выводе в действительной области.

Покомпонентная запись этой теоремы будет иметь вид:

10. Теорема о вращении вектора магнитного поля. Пусть область D имеет намагниченность J1. Тогда эта область создает магнитное поле напряженностью H1. Если та же область будет иметь намагниченность J2, связанную с J1 соотношением J2=J1eiq , т. е. они будут равны по величине но развернуты на угол q , то создавемое поле будет H2=H1eiq . В то же время вектору поля можно поставить в соответствие следующую функцию, связанную с комплексной напряженностью, и определяющую положение вектора намагниченности:

Тогда . Следовательно, поворот вектора намагниченности вызывает поворот магнитного поля в противоположенном направлении.

11. Как уже отмечалось, решение прямой задачи от области D с заданной намагниченностью или плотностью сводится к вычислению площадных интегралов

где J = Jx + iJz — комплексная намагниченность области D. Кроме того, можно воспользоваться теоремой Пуассона, т. е. определять напряженность магнитного поля через напряженность гравитационного.

12. Для того чтобы взять аналитически представленные выше площадные интегралы необходимо входящие в них выражения плотности и намагниченности представить в виде функций комплексных переменных. Это осуществляется путем следующих подстановок: . Результатом этого получаются функции от двух комплексных переменных (), причем эти переменные можно рассматривать как независящие друг от друга.

Дальнейшие вычисления удобно осуществлять путем перехода от площадных к контурным интегралам с помощью аналогов формулы Остроградского-Гаусса для комплексной функции. Таких формул две:

— 1-ая формула О.-Г.

— 2-ая формула О.-Г.

Воспользовавшись первой формулой для комплексных напряженностей можем написать

;

Функция A(s) — любая аналитическая функция, и в частности, она может быть равна нулю. Отметим, что производная по комплексно-сопряженной через действительные переменные выражается следующим образом .

Расписав это выражение для комплексной функции, можно увидеть, что в случае, если функция является аналитической, и для нее удовлетворяются условия Коши-Римана, то эта производная будет равна нулю.

13. Если намагниченность можно представить в виде функции только от одной комплексно-сопряженной переменной , то на основании 2-ой формулы О.-Г. можем получить

В частности, при : .

14. Соответствующие представления контурными интегралами можно получить и для потенциалов и для их высших производных.

15. При вычислении контурного интеграла уравнение линии, по которой берется интеграл, можно представить в параметрическом виде , где , или выразить в явном виде .

Так, на пример, если граница области D представлена совокупностью дуг с параметрическим представлением каждой дуги , и область заполнена массами с постоянной плотностью d, то для G(s) можем получить

Если же область D имеет постоянную намагниченность, то для напряженности магнитного поля можем записать

16. Пусть область D представлена многоугольником. Тогда, для каждой стороны параметрическое представление будет следующим , и соответственно для напряженности магнитного поля H(s) после следующих преобразований получим:

С учетом того, что при t=0 bn=sn, а при t=1 an=sn+1 — sn, последнее выражение будет преобразовано к виду

Уравнение прямой может быть задано и в явном виде — . Коэффициенты an и bn можно получить из следующих соображений:

Откуда следует . Соответственно вывод выражения для напряженности H(s) будет следующим:

17. Выражение для H(s) можно было бы получить, воспользовавшись теоремой Пуассона. Например, поле G(s) от многоугольника с постоянной плотностью будет следующим:

Сумма ans при подстановке координат многоугольника будет равна нулю. Продифференцировав это выражение по s и подставив соответствующий коэффициент, получим выражение для H(s). Ради тренировки эту операцию стоит проделать самостоятельно.

18. Получим выражения для напряженностей от пластины с поверхностными плотностью ds и намагниченностью ms. Уравнение линии в параметрической форме будет следующим:

Вывод выражений начнем с функции G(s) , а для функции H(s) воспользуемся теоремой Пуассона.

При выводе этого выражения мы воспользовались тем, что элемент dl представляется следующим образом . Соответствующее выражение для комплексной напряженности H(s) будет

19. Решение прямой задачи гравиразведки и магниторазведки может быть осуществлено с помощью комплексных моментов, при этом использование такого подхода в некоторых случаях может оказаться предпочтительнее с вычислительной точки зрения.

Так для точки s, находящейся вне круга K(r) с радиусом r таким, что область D целиком находится внутри него, можем записать:

При осуществлении этих преобразований мы воспользовались выражением для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Продифференцировав полученное выражение по s, получим

20. Теперь можно представить выражения для G(s) и H(s) с помощью рядов следующим образом:

Здесь — комплексный момент гравитирующих масс, — комплексный момент намагниченных масс.

21. Физический смысл моментов следующий: момент нулевого порядка характеризует массу или суммарный магнитный заряд области D, момент первого порядка — положение центра тяжести области или центра тяжести магнитных зарядов, последующие моменты характеризуют форму самого объекта и распределения в нем источников поля.

22. Заметим, что нахождение моментов при заданной форме тела и заданном в нем распределении плотности или намагниченности также относится к прямой задаче. При этом, для вычисления площадных интегралов стоит также воспользоваться формулами О.-Г. Так для многоугольника с постоянной намагниченностью можно получить следующие выражение, основываясь на 2-ой формуле О.-Г.:

23. Точность вычисления значений аномального поля будет зависеть от числа членов ряда, удерживаемых при расчете суммы. Оценку этого числа P можно произвести исходя из того, что расхождение между точным значением H(s) и рассчитанным Hp(s) не должно превышать некоторой ошибки: < e. В качестве примера произведем такую оценку для поля G(s):