Решение задач по математике | Ответы на вопросы по дифурам

№ 1 Задачи, приводящие к обыкновенным ДУ, основные определения.

1) Уравнение, в котором неизвестная функция или вектор функция входит под знаком производной называется дифференциальным уравнением.

X(t); k-const; t-время

+ = 4 – Уравнение Пуассона

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция или вектор функция является функциями одной независимой переменной, то такое дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Если же неизвестная функция, входящая в уравнение является функцией двух и более переменных то такое дифференциальное уравнение называется уравнением частных производных.

Порядком дифференциальных уравнений называется максимальный порядок входящей в уравнение производной неизвестной функции.

Решением дифференциального уравнения (результатом ) называется любая n-раз дифференцируемая функция, которая при подстановке в ДУ образует его в тождество. (n-порядок ДУ).

; x=ce-kt

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.

— квадратура.

№2 Задача Коши, формулировка теоремы существования и единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин.

Задача Коши.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям y(x0)=y0 называется задачей Коши.

Теорема Коши: о существовании и единственности решения задачи Коши.

Если в ДУ функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D-плоскости x, y и имеют в этой области ограниченную частную производную fy’(x, y), то для любой точки (x0,y0) D в некотором интервале x0-hxx0+h существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию. y(x0)=y0.

Геометрический смысл ДУ 1-го порядка.

Пусть в некоторой области D ДУ 1-го порядка y’ = f (x, y) имеет решение y = (x, C). Тогда, исходя из геометрического смысла производной, получим, что в любой точке P плоскости (x, y) касательная к интегральной кривой имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равный f (x, y).

Определение. Направления касательных к интегральным кривым образует поле направлений. Построить поле направлений значит вычислить тангенс угла наклона касательных к интегральным кривым в каждой точке плоскости (x, y), где определена f(x, y).

Определение. Геометрическое место точек плоскости (x, y), в которых поле направлений постоянно называется изоклиной.

Метод изоклин.

Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка.

Метод позволяет "вручную" построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.

!!!Метод изоклин состоит в следующем.

Строим достаточно густую сетку изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k.

Затем, начиная из точки (x0, y0), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0).

№3 ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ 1-го порядка.

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.

ДУ с разделяющимися переменными имеет вид y’= (1)

Правая часть такого уравнения может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от y, а другая только от x.

Алгоритм решения

1. Привести уравнение к виду (1) , записать его тип.

2. Представить у’ в виде .

3. Умножить или разделить обе части уравнения на такие выражения, что бы слева оказались только функции у и дифференциал dy, а справа функции только x и дифференциал dx ( дифференциалы должны оказаться в числителе).

4. Проинтегрировать левую часть уравнения по y, а правую по х. Константу интегрирования С записать только справа. Результат интегрирования решение ДУ.

5. Проверить возможно постоянные решения. (см. Замечание)

6. Записать в ответ общее решение ДУ.

Замечание. В процессе решения ДУ могли быть потеряны решения. Такими потерянными решениями могут быть функции, обращающие в ноль выражения, оказавшиеся в знаменателях левой и правой частей уравнения или сокращенные при разделении переменных.

Однородные ДУ 1-го порядка.

Определение:

ДУ вида М(х, у)dx+N(x, y)dy=0 , называется однородным ДУ 1-го порядка, если функции М(х, у) и N(x, y) являются однородными функцией своих аргументов степени n, если для любого числа k0 верно : М(kх, kу)=kn М(х, у).

Однородные ДУ 1-го порядка может быть представлено в виде: y’=f() (2)

Алгоритм решения однородного ДУ 1-го порядка

1. Привести уравнение к виду (2) , записать его тип.

2. Сделать замену: Z= , где Z=Z(x). Тогда y=z*x, y’=z’*x+z

3. Подставить полученные выражения в ДУ , получиться z’*x+z=f(z) – это ДУ с разделяющимися переменными.

4. Решить полученное ДУ

5. Сделать обратную замену

6. Проверить возможно потерянные решения.

7. Записать в ответ общее решение ДУ.

№4 Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли.

Определение. ДУ называется линейным, если неизвестная функция y и ее производная y’ входят в уравнение линейно.

Линейное ДУ 1-го порядка имеет вид: y’=a(x)y+b(x)* или

x’=a(y)x+b(y)

Определение. Если функция b(x)=0, то ДУ называется линейным однородным уравнением, если же b(x)0, то соответственно линейным неоднородным.

Алгоритм решения уравнения методом вариации постоянной.

1. Привести уравнение к виду *, записать его тип.

2. Записать соответствующее однородное ДУ 1-го порядка: y’=a(x)y. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

3. Решить полученное однородное уравнение, записать его решение в виде: y=(x, C).

4. В полученном решении заменить произвольную постоянную C на неизвестную функцию C(x).

5. Подставить решение из п.4. в уравнение *, и выразить из него C’(x)

6. Найти C(x): C(x)=

7. Подставить найденное выражение для C(x) в решение из п.4. Это решение исходного линейного уравнения.

8. Проверить возможно потерянные решения.

9. Записать в ответ общее решение ДУ.

Алгоритм решения уравнения методом подстановки.

1. Привести уравнение к виду *, записать его тип.

2. Представить , тогда Подставить полученные выражения в уравнение .

3. Найти функцию v, обращенную в ноль выражение стоящее в скобках: v’-a(x)v=0 – это ДУ с разделяющимися переменными. Получится v=(x). Константу интегрирования C при этом не пишут.

4. Подставить полученную функцию v в уравнение из п.2, получится:

u’(x)=b(x) или u’=

5. Найти u: u=

6. Подставить найденные выражения для u и v в y=uv. Это решение исходного линейного уравнения.

7. Проверить возможно потерянные решения.

8. Записать в ответ общее решение ДУ.

ДУ Бернулли.

ДУ Бернулли имеет вид: , *

Или

Алгоритм Решения

1. Привести уравнение к виду *, записать его тип.

2. Разделить обе части уравнения на yn.

3. Сделать замену

, тогда

4. Подставить полученные выражения в уравнения из п.2. Получится линейное неоднородное ДУ.

5. Решить линейное ДУ любым методом. Найти его решение

6. Сделать обратную замену:

7. Проверить возможно потерянные решения.

8. Записать в ответ общее решение ДУ.

№5. ДУ в полных дифференциалах. ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.

№6 ДУ высших порядков. Задача Коши. №7 Формулировка теоремы существовании и единственности ее решения.

№8 ДУ высших порядков, допускающие понижения порядка.

№9 Линейные однородные (ЛО) ДУ n-го порядка.

Линейное ДУ(1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением

(ЛОДУ), если его правая часть равна нулю, то есть функция. f(x)=0

№10 Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского.

№11 Теорема о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости и линейной независимости решений ЛОДУ.

№ 12, 13. Фундаментальная система решений ЛОДУ. Структура общего решения ЛНДУ. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

№14. Линейные неоднородные (ЛН) ДУ n-го порядка. Структура общего решения ЛНДУ.

Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Данные уравнения имеют вид

где a1, a2,…, an − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [a, b].

Используя линейный дифференциальный оператор L(D), равный

неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.

15. Метод вариации постоянных для решения ЛНДУ.

16. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

17. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Задача Коши для нормальных систем. Линейные системы ДУ. Матричная задача.

Нормальная система уравнений может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которой равен числу уравнений системы.

№18 Структура общего решения линейных систем ДУ.

№19 Линейные однородные и неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

№20 Числовые ряды. Основные свойства.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число $S=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}a_i$

то в этом случае пишут $sum_{i=1}^{infty}a_i=S$

Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Простейшие свойства рядов.

1. Линейность.

Если ряды и сходятся (и суммы соответственно равны и ), то линейная комбинация тоже сходится (к сумме ).

Это свойство вытекает из линейности предела:

2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:

и сходятся или расходятся одновременно, если при (конечно, суммы, в которые сходятся ряды разные).Дело в том, что частичные суммы при этих рядов отличаются на постоянную величину: (при ). Следовательно, если имеет предел, то и имеет его (и наоборот).

№21 Необходимые признаки сходимости ряда.

Пусть числовой ряд u1+u2+…+un+… сходится, а S — его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю.

Если ряд сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.