Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Решение задач по математике Ответы на билеты по тфкп 2015

Ответы на билеты по тфкп 2015

­­­­­­Содержание:

Вопрос №:

1:  Комплексная плоскость. Формы записи комплексных чисел.
Формула Эйлера……………………………………………………………………………… 4

2:  Теорема о вычислении несобственных интегралов
(доказательство)………………………………………………………………………………. 5

3:  Алгебраические действия над комплексными числами.
Формула Муавра. Окрестность точки на комплексной
плоскости. Бесконечно удалённая точка………………………………………… 6

4:  Свойство линейности и теорема смещения преобразования
Лапласа (Доказательство, примеры)………………………………………………. 6

5:  Функции Комплексного Переменного. Однозначные и
многозначные функции. Показательная, степенная и тригонометрические функции комплексного переменного и обратные им. 7

6:  Свойство дифференцирования изображения (доказательство). 8

7:  Предел функции комплексного переменного и его основные
свойства……………………………………………………………………………………………. 9

8:  Свойство интегрирования изображения (доказательство)…….. 10

9:  Производная функции комплексного переменного. Основный свойства. Определение аналитической функции…………………………………………………………………. 11

10:  Свойство интегрирования оригинала (доказательство).
Свойство подобия…………………………………………………………………………… 12

11:  Функция комплексного переменного. Теорема Коши-Римана. 12

12:  Интеграл Дюамеля (доказательство)……………………………………… 13

13:  Интеграл функции комплексного переменного. Виды
интегральных формул. Основные свойства. Оценка модуля (доказательство) 13

14:  Нули функции комплексного переменного. Разложение
функции в ряд Тейлора в окрестности нуля п-ого порядка………….. 15

15:  Теорема Коши для односвязной области (доказательство)…… 16

16:  Применение операционного исчисления для решения
линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (ЛНДУсПК)…………………………………………………………………………………….. 17

17:  Теорема Коши для многосвязной области……………………………… 18

18:  Применение интеграла Дюамеля для решения неоднородных дифференциальных уравнений п-ого порядка с
постоянными коэффициентами………………………………………………………. 20

19:  Интегральная формула Коши (доказательство)…………………….. 22

20:  Свойство дифференцирования оригинала………………………………. 24

21:  Теорема Лиувиля (доказательство)………………………………………… 24

22:  Теорема запаздывания (доказательство, примеры)…………….. 25

23:  Ряд Лорана. Теорема о сходимости и единственности……….. 26

24:  Теорема о единственности изображения (доказательство)… 26

25:  Преобразование Лапласа. Оригинал. Изображение. Теорема
о единственности (доказательство, примеры)……………………………. 27

26:  Изолированные особые точки функции комплексного
переменного. Вид ряда Лорана в окрестности
изолированной особой точки……………………………………………………… 29

27:  Вычеты. Определение. Вывод формул для определения
вычетов в полюсах функции комплексного переменного…………. 31

28:  Обращение преобразования Лапласа (формула
Римана-Миллера)………………………………………………………………………… 33

29:  Основная теорема о вычетах (доказательство)…………………… 33

30:  Свёртка оригинала. Теорема Барреля (доказательство)…….. 34

31:  Обобщённая теорема о вычетах (доказательство)……………… 35

32:  Следствие второй теоремы разложения………………………………. 36

33:  Ряд Тейлора. Теорема Абеля. Примеры………………………………. 36

34:  Вывод формулы для вычисления вычетов в полюсах……………

35:  Степенные ряды функции комплексной переменной.
Теорема Вейерштрасса. Привести степенные ряды для
простейших Функций Комплексного Переменного………………….. 38

36:  Производные высших порядков от аналитической Функции Комплексного Переменного (использование интеграла
Коши)…………………………………………………………………………………………… 39

37:  Первая теорема разложения. Вторая теорема разложения (доказательство) 40

38:  Лемма Жордана. Вычисление интеграла вида:
……………………………………………………………………….. 41

39:  Преобразование Лорана. Дискретный оригинал.
Изображение элементарных оригиналов. Аналитичность изображения 41

40:  Применение операторного исчисления для расчёта
электрической цепи, случай простых и кратных полюсов………… 42

41:  Основные свойства преобразований Лорана. Примеры……… 44

42:  Применение операционного исчисления для расчёта
электрической цепи, случай комплексных полюсов…………………. 45

43:  Z-преобразования. Аналитичность. Основные свойства.
Формула обращения. Решение разностных уравнений…………….. 46

44:  Вычисление интеграла Дирихле: …………………………. 50

Вопрос № 1: Комплексная плоскость:

1.  Комплексная плоскость.

2.  Формы записи комплексных чисел.

3.  Формула Эйлера.

Комплексная плоскость:

Комплексная плоскость получается путём совмещения двух систем координат – декартовой и поляной. Причём совмещение производится таким образом, что бы центр декартовой совпадал с полюсом полярной системы координат.

Формы записи комплексного числа:

Различают три формы записи комплексного числа:

1.  Аналитическая форма записи:

2.  Тригонометрическая форма записи:

Большой аргумент комплексного числа:

3.  Форма Эйлера:

Вопрос № 2: Теорема о вычислении несобственных интегралов:

Если функция аналитическая в верхней части комплексной плоскости с учётом действительной оси, кроме конечного числа изолированных особых точек, принадлежащих верхней полуплоскости, то:…

Теорема о вычислении несобственных интегралов:

Если функция удовлетворяет данному условию, кроме того, она ограничена: , то:

Доказательство:

Рассмотри функцию на комплексной плоскости:

Пример:

  Вопрос № 3: Алгебраические действия над комплексными числами:

1.  Алгебраические действия над комплексными числами.

2.  Формула Муавра.

Сложение двух комплексных чисел производится так:

Сравнение двух комплексных чисел:

Для возведения в степень можно применить два способа:
Воспользоваться формой Эйлера:

Применить формулу Муавра:

Вопрос № 4: Свойство линейности и теорема смещения преобразования Лапласа:

Свойство линейности преобразования Лапласа:

Теорема смещения преобразования Лапласа:

Доказательство:

Пример:

Вопрос № 5: Функция комплексного переменного:

Пусть задана область Д на комплексной плоскости. Если для всей точек z из этой области Д поставят в соответствие одну, или несколько точек комплексной плоскости, то говорят, что на области Д задана функция .

Если ω – одно число, что функция называется однозначной, иначе – многозначной.

– однозначная функция.

–n-значная функция.

Показательные функции:

Степенные функции:

Тригонометрические функции:

Обратные функции:

– Многозначная функция на комплексной плоскости.

Вопрос № 6: Свойство дифференцирования изображения:

Доказательство:

Так, как сходится этот интеграл можно дифференцировать по параметру:

Пример:

Вопрос № 7: Предел функции комплексного переменного:

1.  Предел функции комплексного переменного.

а)  Его основные свойства.

2.  Непрерывность функции комплексного переменного.

3.  Односвязные и многосвязные области.

4.  Примеры.

Функция имеет предел в точке z0­­: , если .

Аналогично

Свойства пределов ФКП:

1. 

2. 

3. 

Функция называется непрерывной в точке z0­, если предел функции в этой точке равен значению самой функции в этой точке:

Области:

Область Д на комплексной плоскости называется односвязной, если любая замкнутая самонепересекающаяся кривая ограничивает область, принадлежащую целиком области Д. Если область не отвечает этому требованию, то она является многосвязной.

Вопрос № 8: Свойство интегрирования изображения:

Доказательство:

Пример:

Вопрос № 9: Производная функции комплексного переменного:

1.  Производная функции комплексного переменного.

а)  Основные свойства.

2.  Определение аналитической функции.

Путь функция определена на односвязной области Д. Рассмотрим любую точку, принадлежащую этой области. Пусть функция однозначна. Функция имеет производную в любой точке области Д, если существует предел:

Функция, имеющая производную во всех точках области Д называется аналитической в области Д.

Свойства производной функции комплексного переменного:

1.Константа выносится из-под знака производной

2.Свойство линейности:

3.

4.

5.

Вопрос № 10: Свойство интегрирования оригинала, свойство подобия:

Свойство интегрирования оригинала:

Доказательство:

Свойство подобия:

Доказательство:

  Вопрос № 11: Теорема Коши-Римана:

Для того, что бы функция была дифференцируема в точке z0 области Д необходимо и достаточно что бы функции U(x;y),V(x,y) были дифференцируемы в этой точке, и что бы выполнялось условие Каши-Римана:

Вопрос № 12: Интеграл Дюамеля:

Доказательство:

Пример:

          Вопрос № 13: Интеграл функции комплексного переменного:

Кривая на области Д ориентированная, кусочно гладкая и кусочно непрерывная. Функция непрерывная и ограниченная на Д.

Доказано, что для функции, непрерывной и ограниченной на кривой L такой интеграл существует.

Свойства криволинейного интеграла:

1.  Если кривая L представлена в виде отдельных ориентированных кусков:

2. 

3. 

4. 

Доказательство:

Путь L задана параметром, тогда:

Вычисление:

– Длинная формула вычисления криволинейного интеграла.

Пример:

Вычисление через параметр:

Пример:

 

Вопрос № 14: Нули функции комплексного переменного:

1.  Нули функции комплексного переменного.

2.  Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля п-ого порядка.

Точка z0 называется нулём, если в ней функция принимает нулевое значение. Если функция в точке z0 не обращается в ноль, то это значит, что ряд Тейлора для неё будет иметь следующий вид:
– нуль п-ого порядка.

Пример:

Вопрос № 15: Теорема Коши для односвязной области:

Если функция аналитическая на области Д, а Д – односвязная область, то: , где Г – любая замкнутая кривая, принадлежащая области Д.

Доказательство:

Распишем интегралы по формуле Грина:

Пример:

  Вопрос № 16: Применение операционного исчисления для решения Линейных Неоднородных Дифференциальных Уравнений с Постоянными Коэффициентами:

Задача Коши для ЛНДУсПК:

Пусть задано дифференциальное уравнение:

где аi – заданные числа, а f(x) – оригинал.

Тогда начальными условиями будут:

Найдём преобразования Лапласа для этих функций:

Теперь подставим «преобразованные» функции в наше дифференциальное уравнение:

Решая операторное уравнение относительно Х(р) получаем:

Обозначим:

Тогда наше дифференциальное уравнение запишется в следующем виде:

Вопрос № 17: Теорема Коши для многосвязной области:

Еcли область ограничена внешним сложным кусочно гладким контуром Г, то для аналитической функции на этой области интеграл по этому контуру от функции равен нулю.

Доказательство:

Разложим контур на составляющие:

– внешний контур области Д.

Для этого контура справедлива теорема Коши:

Если область Д ограничена внешним контуром Г – положительно ориентированным и внутренними контурами: Г1, Г2, …, Гп – положительно ориентированными, то для аналитической функции на области Д имеет место следующее равенство:

Доказательство: По предыдущей теореме:

Замечание:Если п = 1, то

Вопрос № 18: Применение интеграла Дюамеля для решения ЛНДУ п-ого порядка с ПК:

Возьмем нулевые начальные условия…

Для того, что бы воспользоваться интегралом Дюамеля обозначим левую часть уравнения за L(x), тогда:

Примем L(x)=1. Применим преобразования Лапласа:

За тем применив обратное преобразование Лапласа получим оригинал искомой функции.

Запишем интеграл Дюамеля:

Пример:

Задача Коши:

Воспользуемся свойством интегрирования оригинала:

Из теории дифференциальных уравнений известно, что дифференциальное уравнение п-ого порядка можно записать как п уравнений первого порядка и наоборот. По этому операционное счисление применяется для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При применении преобразований Лапласа мы получаем систему операторных уравнений. Решив эту систему относительно изображения неизвестной функции, мы можем решить систему дифференциальных уравнений.

  Вопрос № 19: Интегральная формула Коши:

Пусть область Д ограничена внешним замкнутым положительно ориентированным контуром Г, функция f(x) аналитическая на области Д, то имеет место следующее равенство:

Доказательство:

Рассмотрим функцию: аналитическую на области Д за исключением точки z0. Область Д’ – это область Д с вырезанной окружностью радиуса r.

φ(z) аналитическая на области Д.

Если область Д ограничена внешним контуром Г – положительно ориентированным и внутренними контурами Гi – положительно ориентированными, то для аналитической функции на области Д имеет место равенство:

Так как радиус r – любое число, и может быть очень маленьким, то:

Пример:

Вопрос № 20: Свойство дифференцирования оригинала:

Если – оригиналы, то для любых порядков производной оригинала при наличии у функции f(x) изображения по Лапласу:

Пример:

Вопрос № 21: Теорема Лиувиля:

Если функция f(x) аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена на ней, то она постоянна.

Доказательство:

Оценим модуль производной:

Тригонометрические функции неограниченны на комплексной плоскости.

     

Вопрос № 22: Теорема запаздывания:

Запаздывание аргумента функции f(t) оригинала соответствует умножению его изображения на e-.

Доказательство:

– запаздывание.

Пример:

 

    Вопрос № 23: Ряд Лорана:

1.  Ряд Лорана.

2.  Теорема о:

а)  Сходимости

б)  Единственности

Если функция аналитическая в кольце , то её можно представить единственным образом в виде ряда:

Где первая сумма представляет собой «правильную» часть, а вторая – «главную» часть.

Правильная часть ряда Лорана сходится в области – внутри внешнего контура, а главная часть сходится в области – вне внутреннего контура.

Для нахождения суммы ряда Лорана дробно рациональных функций можно воспользоваться формулами нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии:

    Вопрос № 24: Теорема об аналитичности изображения:

Для любого оригинала f(t) изображение F(p) представляет собой аналитическую функцию полуплоскости

Доказательство:

Для доказательства аналитичности изображения оценим его производную:

Оценка:

Таким образом мы доказали, что изображение функции по Лапласу аналитическая функция на всей комплексной плоскости.

Процесс определения изображения по оригиналу и определение оригинала по заданному изображению называется операционным исчислением.

 

    Вопрос № 25: Преобразования Лапласа:

1.  Преобразование Лапласа.

2.  Оригинал.

3.  Изображение.

4.  Теорема единственности.

5.  Примеры.

Рассмотрим функцию действительного переменного такую, что:

1.

2.

3. Функция удовлетворяет условию Дирихле:

а)  Ограничена

б)  На любом отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода.

в)  На любом отрезке имеет конечное число экстремумов.

В этом случае функция называется оригиналом и для неё существует преобразование Лапласа:

Функция F(p) – функция комплексного переменного – называется изображением функции f(t) – функции действительного переменного, или изображением Лапласа. F(p) – определена на комплексной плоскости.

Для любого оригинала изображение представляет собой аналитическую функцию полуплоскости

Теорема о единственности преобразования Лапласа:

Если две функции f1(t) и f2(t) имеют одно и то же изображение, они тождественно равны.

Изображения для простейших оригиналов:

1.  Функция Хевисайта:

2. 

Вопрос № 26: Изолированные особые точки ФКП:

1.  Изолированные особые точки Функции Комплексного Переменного.

2.  Вид ряда Лорана в окрестности особой изолированной точки.

Точку z0 называют изолированной особой точкой функции f(z) комплексного переменного, если эта функция однозначна и аналитическая в области – внутренность круга с выколотым центром.

Точку ­z0 называют устранимой изолированной особой точкой, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: .

Пример:

Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки имеет только правильную часть:
– ряд Лорана в окрестности z0=0.

Точка z0 – полюс т-ого порядка для функции f(z), если предел от этой функции в этой точке равен бесконечности, а обратная функция имеет ноль т-ого порядка:

Ряд Лорана в окрестности полюса т-ого порядка содержит правильную часть и ровно т членов с отрицательными степенями (главной части):

Пример:

Ряд Лорана по степеням (z-1), или ряд в окрестности точки z0=1:

Изолированная особая точка z0 – является существенно особой изолированной точкой функции f(z), если придел в этой точке не существует. В этом случае ряд Лорана в окрестности такой точки содержит полностью главную часть.

Пример:

– Главная часть ряда Лорана полностью.

Вопрос № 27: Вычеты:

1.  Вычеты.

а)  Определение.

2.  Вывод формул для вычисления вычетов в полюсах функции комплексного переменного.

Вычетом Функции Комплексного Переменного в изолированной особой точке называется интеграл вида:

Если функция записана в виде ряда Лорана:
.

Из формулы вычисления рада Лорана видно, что:
– положительно ориентированный контур радиуса r, при чём, вычет не зависит от радиуса этого контура.

Вычисление вычетов:

Если z0 – устранимая изолированная особая точка функции f(z), то вычет этой функции в этой точке равен нулю:
, так как ряд Лорана в этой точке содержит только правильную часть.

Если z0 – полюс т-ого порядка для функции f(z), то ряд Лорана в этой точке выглядит следующим образом:

Выведем формулу вычисления вычетов функции f(z) в полюсах т-ого порядка:

Продифференцируем выражение (т-1) раз:

Вопрос № 28: Обращение преобразования Лапласа (формула Римана-Меллина):

Если функция f(x) – оригинал, а F(x) – изображение,

являющееся аналитической функцией в верхней полуплоскости – , где s0 – показатель роста оригинала, тогда имеет место формула Римана-Меллина:

Преобразование Лапласа имеет вид:

 

         

Вопрос № 29: Основная теорема о вычетах:

Если функция f(z) аналитическая в области Д на комплексной плоскости, кроме конечного числа изолированных особых точек, принадлежащих этой области, то интеграл по замкнутому контуру, охватывающему все эти точки равен сумме вычетов во всех этих точках, умноженной на πi:

Функция f(z) – аналитическая в области Д, без областей, определённых контурами γi. То по теореме Коши о сложении контурных интегралов:

Вопрос № 30: Свёртка оригиналов:

1.  Свёртка оригиналов.

2.  Теорема Бореля.

Если функции f1(t) и f2(t) – оригиналы с коэффициентами роста – s1,s2, то:…

Свёрткой оригиналов f1(t) и f2(t)называют:

Теорема Бореля:

Если f1(t) имеет изображение – F1(p), а f2(t) имеет изображение F2(p), то их свёртка – это произведение изображений по Лапласу:

Доказательство:

Запишем преобразование Лапласа для свёртки:

Пример:

Вопрос № 31: Обобщённая теорема о вычетах:

Если функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, кроме конечного числа изолированных особых точек, таких, что:
, тогда сумма вычетов по всем изолированным точкам равна нулю.

Доказательство:

По теореме Коши для сложного контура:

Пример:

 
Вопрос № 32: Следствие второй теоремы разложения:

Если изображение представляет собой дробно рациональную функцию:
многочлен т-ной степени, и изображение имеет на комплексной плоскости различные действительный полюсы первого порядка (простые), тогда:

Пример:

Каждой паре комплексно сопряжённых полюсов соответствует следующее равенство:

Пример:

  Вопрос № 33: Ряд Тейлора:

Пусть область Д задана следующим образом:

Если z0=0, то получим ряд Маклорена:

Теорема Абеля:

Если ряд Маклорена сходится в точке z1 на комплексной плоскости, то он сходится в области

Для определения радиуса сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:
Если
Сходимость определяется , следовательно, радиус сходимости ограничен.

Пример:

Вопрос № 34: Вывод формулы для вычисления :

Точка z0 – полюс первого порядка, тогда:

Доказательство:

Пример:

Вопрос № 35: Степенные ряды ФКП:

1.  Степенные ряды Функции Комплексного Переменного.

2.  Теорема Вейерштрасса.

3.  Привести степенные ряды для простейших функций.

Пусть задана функция комплексного переменного на области Д, где область Д односвязная.

Теорема Вейерштрасса:

Если ряд, образованный аналитическими функциями сходится на области Д к функции f(x), то эта функция то же аналитическая на этой области.

Ряды простейших функций:

Вопрос № 36: Производные высших порядков от аналитической функции комплексного переменного:

1.  Производные высших порядков от аналитической функции комплексного переменного.

а)  Использование интеграла Коши.

Пусть задана функция комплексного переменного на области Д принадлежащей комплексной плоскости. Тогда имеет место интегральная формула Коши:
, где контур – положительно ориентирован. Тогда:

Вопрос № 37: Теоремы разложения:

Первая теорема разложения:

Если изображение F(p) в окрестности |p|>R – бесконечно удалённой точки имеет лорановское разложение, то:

Пример:

Вторая теорема разложения:

Если изображение F(p) является однозначной функцией на комплексной плоскости и имеет конечное число изолированных особых точек, находится в конечной области, тогда:

Доказательство:

Воспользуемся теоремой о вычетах:

Пример:

Вопрос № 38: Лемма Жордана:

1.  Лемма Жордана.

2.  Вычисление интеграла вида:

Если для любой последовательности рассмотреть полуокружность в верхней полуплоскости :
, то

С использованием леммы Жордана можно вычислять несобственные интегралы, подынтегральное выражение которых представляет собой произведение тригонометрической и линейной функций:
но на комплексной плоскости подынтегральное выражение:

                Вопрос № 43: Z-преобразование:

1.  Z-преобразования.

2.  Аналитичность.

3.  Основные свойства.

4.  Формула обращения.

5.  Решение разностных уравнений.

Если в преобразование Лорана вместо подставить “z”, то получится Z-преобразование.

– ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки. Рассмотрим область сходимости по свойству Даламбера:

Примеры:

1. 

2. 

3. 

4. 

Свойства Z преобразования:

1.  Линейность:

2.  Дифференцирование изображения:

3.  Свёртка оригиналов:

4.  Свойство запаздывания и опережения:

Обращение Z-преобразования:

– в ряде Лорана – коэффициент при z-1.

, где С – замкнутый положительно ориентированный контур внутри которого находятся все изолированные особые точки функции.

Решение разностных уравнений:

Пример:

 

                        Вопрос № 44: Вычисление интеграла Дирихле:

Интеграл Дирихле: .

– аналитическая внутри контура. Тогда:

Перейдём к пределу при