Вузы по математике
Готовые работы по математике
Как писать работы по математике
Примеры решения задач по математике
Решить задачу по математике onlineОбразец контрольной по высшей математике
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Задача 1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.
Находим определитель системы:
Так как определитель системы 
, то система совместна и имеет единственное решение.
а) Находим решение по формулам Крамера.
Заменяя в определителе системы столбец коэффициентов при соответствующем переменном столбцом свободных членов, находим определители неизвестных:
Тогда по формулам Крамера:
б) Решаем систему уравнений матричным методом:
Запишем матрицу А коэффициентов при неизвестных:
Запишем матрицу-столбец Х при неизвестных:
И матрицу-столбец Н свободных членов:
Тогда матричное уравнение 
будет эквивалентно исходной системе уравнений, а его решение: 
будет одновременно являться и решением исходной системы. То есть, чтобы найти столбец неизвестных Х, надо найти матрицу 
, обратную матрице 
и справа умножить ее на матрицу свободных членов.
Ищем обратную матрицу . Обратная матрица равна:
, где:
— определитель матрицы ;
— транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.
Для матрицы 
обратная матрица 
будет следующей:
Определитель исходной матрицы А уже найден и он соответствует определителю системы и равен 
. Ищем алгебраические дополнения элементов исходной матрицы и транспонируем их в матрицу .
Обратная матрица 
будет:
Решение системы линейных неоднородных уравнений 
:
Задача 2. Вершины пирамиды находятся в точках 
и 
. .А(3; 5; 3); В(-3; 2; 8); С(-3; -2; 6); 
(7; 8; -2). Вычислить:
а) площадь грани 
б) площадь сечения, проходящего через середину ребра 
и вершины пирамиды 
и С ;
в) объём пирамиды 
.
Решение.
Определим координаты точки 
середины ребра 
:
.
Из вершины 
в вершины 
и , а также в точку 
проведем векторы
а) площадь грани 
равна половине модуля векторного произведения векторов 
и 
:
=
б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины пирамиды 
и С равна половине модуля векторного произведения векторов и 
в) объём пирамиды равен одной шестой части смешанного произведения векторов 
, 
и
, идущих из одной вершины вдоль граней пирамиды:
Задача 3. Даны четыре точки: 
.
Составить уравнения:
а) плоскости ABC;
б) прямой AB;
в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;
г) прямой CN, параллельной прямой AB;
д) плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно к прямой AB.
Вычислить:
е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;
ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC.
Решение.
Из точки 
в точки 
, 
и 
проведем векторы
Найдем вектор 
, перпендикулярный к плоскости векторов 
и 
как их векторное произведение:
а) Уравнение плоскости ABC, проходящей через фиксированную точку 
перпендикулярно нормальному вектору 
будет: 
. После сокращения на 2 и приведения подобных членов получим общее уравнение плоскости ABC: 
б) Уравнение прямой AB запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором 
.
— каноническое уравнение прямой AB.
в) Уравнение прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC
запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку 
с направляющим вектором
: 
г) Уравнение прямой CN, параллельной прямой AB запишем как
каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку 
с направляющим вектором
. 
д) Уравнение плоскости, проходящей через точку D,
перпендикулярно к прямой AB. Как общее уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с нормальным вектором 
. Ее общее уравнение будет:
е) Синус угла между прямой AD и плоскостью ABC равен косинусу угла между вектором 
и нормальным вектором 
к плоскости ABC:
ж) Координатная плоскостью Оху имеет нормальным вектором вектор 
.Косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC равен косинусу между векторами 
и .
Задача 4 Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя
а) 
Так как и числитель и знаменатель выражения при 
обращаются в нуль, то на основании следствия из теоремы Безу, они раскладываются на множители, среди которых одним из множителей будет 
. Для нахождения других множителей производим деление уголком заданных многочленов на .
б) 
в) 
г) 
д) 
Задача 5. Продифференцировать данные функции
а) 
б) 
в) 
— логарифмическое дифференцирование.
г) 
— логарифмическое дифференцирование.
Задача 6. Найти первые и вторые производные 
и 
:
а) 
— Неявное задание функции
.
б) 
— Параметрическое задание функции
Задача 7. Провести полное исследование функции и построить её график. 
1. Область определения функции: 
2. Функция общего вида, т. е. не является четной или нечетной, т. к.
.Т. е. ось 
не является осью симметрии и начало осей координат не является точкой симметрии.
3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат
3.1 Оси 
график функции не пересекает, т. к. функция не определена при 
.
3.2 Ось 
график функции пересекает в том случае, если
. 
при этом равен 
.
4. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
4.1 Находим производную от функции:
4.2 Находим критические точки функции: 
и 
.
4.3 Строим таблицу исследования функции на монотонность и экстремумы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не определена |
|
min |
|
5. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость.
5.1 Находим вторую производную:
5.2 Критическая точка второго рода: 
5.3.Строим таблицу исследования функции на выпуклость и вогнутость:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не определена |
|
6. Исследуем функцию на наличие асимптот.
6.1 Прямая 
является вертикальной асимптотой, т. к.
.
6.2 Прямая 
является наклонной асимптотой, если при
существуют два конечных предела:
Поэтому прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции.
7. Строим график функции 
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%
