Исследовать сходимость рядов

1.2.9. Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать сходимость следующих рядов:

Воспользуемся признаком Даламбера:

При решении использовали – второй замечательный предел.

Так как – то данный ряд сходится.

По радикальному признаку Коши:

Так как – то данный ряд расходится.

По интегральному признаку Коши:

Ряд расходится.

1.3.9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

Воспользуемся признаком Даламбера:

Так как , то ряд, составленный из модулей членов данный ряд, сходится.

Таким образом, исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

По интегральному признаку Коши:

Ряд, составленный из модулей членов данный ряд, расходится.

Исследуем исходный ряд по признаку Лейбница:

1.  последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

2.  Общий член ряда стремится к нулю, при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам :

;

с погрешность вычисления равной .

Таким образом,

Ряд является условно сходящимся, т. к. ряд составленный из модулей членов данного рядя расходится, а данный ряд сходится по признаку Лейбница.

1.4.9. Найти область сходимости степенного ряда:

По признаку Даламбера:

Область сходимости ряда: => =>

При имеем ряд:

По интегральному признаку Коши:

Ряд расходится.

Тогда область сходимости ряда:

1.5.9. Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда:

Преобразуем функцию:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Тогда:

Область сходимости ряда: => =>

Тогда область сходимости ряда:

1.8.9. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Тогда:

Найдем значение интеграла:

1.9.9. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля члена этого разложения).

,

Будем искать решение уравнения в виде:

Здесь:

Будем искать:

при x=0

при x=0

Подставляем найденные значения производных в исходный ряд, получаем:

Окончательно:

4.1.9. Основные понятия и теоремы теории вероятностей:

Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?

По условию:

; ; ;

По формуле Бернулли:

Подставим исходные значения:

Найдем максимальное значение n, решая правую часть неравенства.

Чтобы найти максимум данной функции, найдем ее производную:

Найдем критические точки:

Тогда:

Тогда неравенство никогда не будет выполнено:

С вероятностью, большей 0,94, мы не можем утверждать, что цель будет поражена, если вероятность попадания в цель равна 0,003.

4.3.9. Схема повторных испытаний:

Из каждого десятка деталей 9 удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.

По интегральной теореме Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна (0 при этом , событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна:

Здесь:

– функция Лапласа

;

Значения функции Лапласа находим по специальной таблице.

Найдем вероятность появления стандартной детали и вероятность появления нестандартной:

;

Подставим все известные значения:

Функция Лапласа (по таблице):

Искомая вероятность:

4.4.9. Случайные величины:

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что Х примет значения , равна 0,2. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение .

Запишем закон распределения Х в общем виде:

Впишем все известные значения:

Найдем возможные значения Х:

Находим математическое ожидание:

Подставляем все известные значения:

Находим среднее квадратичное отклонение:

Находим дисперсию:

Подставляем все известные значения:

Составим систему уравнения для нахождения возможных значений Х:

Подставляем все известные значения:

=>=>=>

или

Тогда:

или

Принимая во внимание условие выбираем пару: и

Запишем закон распределения Х:

4.5.9. Случайные величины:

Случайная величина Х задана функцией распределения:

Выбрать коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа, написать выражение для плотности р(х).

По условию задачи функция F(x) непрерывна. Выберем коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы не было разрыва, для этого составим систему уравнений:

Тогда:

=> => => =>

Выберем: , тогда , .

Подставим найденные значения в функцию распределения:

Плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке и является производной функции распределения.