Matematiku5 – Векторное произведение неколлинеарных векторов
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Векторное произведение неколлинеарных векторов


Свойства скалярного произведения

1 Скаляр произв векторов СПВ подчиняется переместительному закону |ав|=|а|*|в|cos g; |ав|=|в|*|а|cos g

2 СПВ подчиняется сичитат закону относит скалярного множителя, т. е (лямбда, в)=лямбда(а, в)

3 СПВ подчин распределит закону, а(в=с)=а*в+а*с

4 Квадрат вектора равен квадрату ео модуля, т.е (а)2=(аа)=|а||а|cos0=|а||а|1= |а|2

Векторное произведение не коллинеарн векторов

Наз вектор с длина которого равна площади параллелограмма постороенного на вект а и в который перпендик плоскости этого параллелограмма и направлены так что смотреть с его конца то ближайший поворот от а к в происходит против часовой стрелки. Если а и в колинеарны их вектр произвед наз нулевой вектор. Обознач вект произвед [а, в], а ×в. Из опред с это результат вектр умножения 2 векторов с=[а, в], то |с|=|а|*|в|*sing. Если векторно умножить в на а то получится вектор [ва] = по модулю [а, в] но направлен в провотиположную сторону, т. е [а, в]=- [ва], если векторы коллинеарны то их произвед =0

Св-ва: Для любых векторов а и в ВП= [а, в]=- [ва],т. е подчиняется переместит закону

2 ВП подчиняется сочитательному закону относит скалярного множителя [лямбда а, в]=лямбда[а, в]; [а лямбда в]=лямбда[а, в]

3 ВП подчиняется распределит закону [а(в+с)]= [ав]+[ас]

Линейные зависимые и не зависимые векторы

Пусть дана система n-векторов а1,а2….аn-1,аn (n≥2) Система векторов наз линейно завис если существ такие числа к1,к2….кn-1,кn, хотя бы одно из которых отлчно от 0 что имеет место равенство к1а1=к2а2=….кnаn=0 Линейно не завис в противном случае. Система векторов а1,а2….аn где ( n≥2) наз линейно зависимойесли хотя бы 1 из этих векторов явл линейной комбинацией остальных векторов системы и линейно-не завис в противном случае.

Сложение векторов

Суммой векторов а и в наз такой вектор с начало которого совпад с началом вект а, а конец с концом вект в, при условии что нач вект в приложено к концу вект а.

Св-ва; слож вект подчин перемест закону а+в=в+а

Слож вект подчин сочетат закону (а+в)+с=а+(в+с)

Вычитание векторов

Разностью векторов а и в наз вект с для которого с+а-в=а+(-в). Для геом построения вект разности с=а-в, можно поступить 1 из 2 способов.

Проекции векторов

Проекция МР на ось наз велич отрезка М, Р где М — это проекция нач вект, Р-проекция конца вект на эту ось. Проекцию вект принято обознач а’

Проекц вект на оь = произвед модуля вектора на cos угла наклона вектора к оси а’=|а|cosq

Проекц суммы векторов на ось = сумма проекций слогаемых векторов на эту же ось

Основные понятия и опред матричной алгебры

Матрица – это прямоугольный массив чисел располож по строкам и столбцам. Матрицы служат для представления численных данных в удобном для матем обработки форме. В общем виде матрица запис след образом:

Аij – элемент матр; i строка, jстолбец

Размеренность А-кол-во строк и столбцов (Аm×n) Если кол-во строк и столбцов = то А-квадратня порядка n Квадр А порядка n будет наз единичной если все элем глав диаг =1 а все элементы вне диаг =0

Диагональной А наз квадр А в которой все элем не наход на глав диаг=0, А все элементы которой явля 0, наз нулевой, обозн Оn, А сост из 1 элем есть просто число, А сост из 1 строки наз вектором строкой, А сост из столбца часто для удобства запис из строки.

Сложение, Вычитание матриц

Суммой 2 матриц А и В имеющ соотв равные кол-ва строк и столбцов наз матрица элементы которой равняются сумме соотв элементов матриц А и В.

Св-ва: сложение подчиняется переместит закону А+В=В+А

Сложение подчиняется сочитат закону А+(В+С)=(А+В)+С

А+0=0+а=А нулевая

Вычитание: Разность 2 матриц опред формулой А-В=А+(-В). Т. о А-В есть С где элемент С есть разница элементов стоящих на одинаковых местах

Умножение матриц на число

Произведение числа к на матрицу А или наоборот наз матрица которая возникает из матрицы путем умнож всех ее элементов на число к

Св-ва: если мы умнож 1 на А получим А

0А=А*0=0 нулевая

Переместит закон

А(-1)=-А

А+(-А)=0 нулевая

(-К)А=-(КА)

-(А+В)=А-В

Умножение матрицы на матрицу

Умножать можно только те матрицы для которых число столбцов первого сомнож равно числу строк второго. Результатом умножения явл матрица укоторой число строк равно числу строк 1 а число столбцов совпад с числ 2.

Св-ва умножения матриц

АВ не равно ВА не подчин перемест закону

АЕ=ЕА=А

Произвед матр подчиняется сочитат закону А(ВС)=(АВ)С

Произвед матриц подчин распред закону (А+В)=АС+ВС

Протзвед 2 матриц м. б нулевой А хотя не один из сомножителей не есть нулевой А

Трансформированная матрица

А’которую получ из матр А заменяя строки на столбцы, а столбцы на строки наз трансформиванной матр и обознач А’А=[а11,а12….а1n] есть столбец А'[а11 а12, а1n] и наоборот.

Св-ва: ТР-ая А с суммой двух А = сумме тр-ых матриц слогаемых (А+В)’=А’+В’

Тр-ая матрица, произвед 2 матриц= произвед тр-ых матриц перемнож в обратной последоват (АВ)’=В’А’

Обратная матрица

Дана квадратная матрица А произвольного n-ого порядка, пусть Е-единич матрица, того же порядка. Квадрат матр Х такая что ХА=АХ=Е, наз матрицей обратной матрице А и обознач А¯¹

Св-ва: матр обратная матрице обрат матр А = матр (А¯¹)¯¹=А

Обрат матр произвед 2 квадр матр одного порядка= произв обрат матр умнож в обратной последовательности (АВ)¯¹=В¯¹А¯¹

Датерминант(определитель)

Значение опред 1 порядка есть число равное его элементу.

Пусть дана матрица 2 порядка необх вычисл определитель.

Определитель = а11*а22-а12*а21

Дана матрица 3 порядка

Вычисление опред n-ого порядка.

Дан опред n-ого порядка. Вычеркиваем в этом определителе произвольную строку и произвольный столбец.

Существ понятие алгебр дополнение Дijэлемента аij определ как число полученное от умножения минора на (-1) в степ i+j.

Существ теорема которая дает возможность найти знач опред любого порядка: Определитель n-ого порядка можно разложить по элементам i строки или jстолбца

Формулы наз формулами Лапласса Эта теорема позволяет свести вычисл опред n-ого порядка к вычисл опред n-1 порядка, n-1 к n-2 и т. д. Квадрат матрица опред которой =0 наз особой матр.

Свойства определителей

Опред не меняется при транспонировании

Если один из столб или строк состоит только из 0 то опред=0

Если 2 столбца или 2 строки опред идентичны то опред=0

Если поменять местами 2 строки или 2 столбца то изменится только знак

Если все элем какой либо строки или столбца содержат общий сомножитель, то его можно вынести за знак определителя

Если к елементам одной строки или столбца опред добавить соотв элем др строки или столбца на одно и тоже число л, то знач опред не изменится

Определитель содерж 2 пропорц строки =0

Опред обрат матрицы=обратному знач опред матрицы |А¯¹|=1/|А|

Союзная матрица

Транспонированная матр, матрр Д наз союзной матрр, матр А и обознач А в степ d

Теорема: если квадр матр А не особая, то произв этой матрицы А и союзной с ней матр = единичной матр умнож на опред матр А; А*А в степ d=|А|*Е

Ранг матрицы

Обознач р(А), наз наиб порядок который могут иметь ее миноры не обращающиеся в ноль.

Минор матрицы – определитель матрици составл из элем данной матрицы, стоящих на пересеч произвольно выделен ее строки и столбца

Треугольные матр

Квадратная матр в которой все элем наход над главной диагональю или под ней наз треугольной матр.

Св-ва: сумма треуг снизу(сверху) матр есть матр треуг снизу(сверху)

Произвед треуг матр снизу(св) есть матр треуг св(сн)

Определитель треуг матр = произвед элементов наход на глав диаг

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод