Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Высшая математика основные определения

Высшая математика основные определения

Система координат на прямой.

Пусть дана некоторая прямая. Установим на ней положительное направление, прямая станет осью. Затем выберем на этой прямой т. О это будет начало отсчета. Зададим масштабный отрезок (единичный Е) если на прямой выбрано направление, начальная т. О и единица масштаба, то говорят что на этой прямой введена декартова с. к.. Сама прямая наз. Корд. Осью, а т. О – нач. координат. Введение декартовой с. к позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Корд любой точки М наз. числом х, равное величине направления ОМ. Т. е. корд. Это число равное по абсолютной величине расстоянию т. М от начала корд и это число имеет знак + если совпад с осью и –если не совпадает. При помощи декартовой с. к например можно установить взаимно однозначное соот между множеством всех т. Прямой, т. е. к оси и множеством всех действительных чисел, а именно любой т прямой соотв опред действит число, а любому действ числу соотв опред т. на прямой.

Прямоугольная с к на плоскости

На плоскости задана декартова прямоугольная с. к, если задана пара взаимоперпердик осей и при этом условленна какая из этих осей явл первой, а какая второй, а также задан единичный или масштабный отрезок, т. О – пересечение осей нач корд. Первую ось наз осью абсцисс (ОХ) вторую – ордината (ОУ) это оси координат.

Пусть М произвольная т. плоскости. Из этой т. опустим перпендик на оси координат. Абсциссой т. М наз. Величину отрезка ОК оси ОХ, а ардинатой ОС оси ОУ. Пару Пару чисел х и у где х=ОК, у=ОС наз. Корд т М в выбранной с. к. Тот факт что т. М=О тогда и только тогда, когда т. М лежит на оси ОУ, а ордината =О когда т. М лежит на оси ОХ.

У начала корд т О и только у него обе корд =О т. о каждой т. М плоскости соотв пара действит чисел (х, у) корд этой точки и на оборот, каждой паре действит чисел соотв и при этом только 1 точка на плоскости для которой эти числа будут ее корд.

Каждая корд ось разбивает на 2 ч, а вместе оби оси разбив его плоскости на 4 четверти

Полярная с. к на плоскости

Возьмем на плоскости т. О и через нее ось ОР. Будем наз т. О полюсом, а полуось т. е лучь выходящий из т. О в положит направлении для оси ОР полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного (масш) отрезка ОЕ опред на плоскости полярную с. к. Возьмем т. М и соед ее с полюсом. Полярным рариусом РО любой т. М плоскости наз ее расстояние от полюса О, т. е длина отрезка ОМ — полярн радиус (q) Полярным углом g т. М наз угол наклона направл ОМ к полярной оси ОР, угол g опред с учетом знака и до слогаемого 2ПК, т. е обычно в качестве полярных углов в т. плоскости берут главные значения 0≤g≤2П(360). Числа q и g т. е поляр град и угол наз полярн корд. Для т. О полюса при q=0 угол g не имеет опред значения. Задание любой пары действ чисел q и g где q не отриц позволяет построить на плоскости 1 и только 1 т. М для которой эти числа явл ее полярной корд, если q=0 т. М совпад с полюсом если q>0, то построение т М сводится к построению ОМ, угол наклона которого в полярной оси= g, а длина =q

Связь между прямоугольной декартовой и полярными корд.

Рассмотрим на плоскости прямоуг декарт с. к (ХОУ) и полярную с. к у которой полюса совпадают с началом корд т. О а поляр ось совпад с осью абсцисс.

Возьмем на плоскости произвольную т. М, корд М(х;у) а в поляр с. к (q;g) т. L не совпад с нач корд.

Cosg=х/q sing=y/q следоват x=q*cosg y=q*sing

Мы получили формулы которые позволяют по известным поляр корд получить декартову с. к х и у

При любом полож т. М q2=x2+y2

q= корень х2+у2 cosg=x/корень х2+у2 sing=у/корень х2+у2 Получили формулы которые позволяют из известных декарт корд получить ее полярные корд.

Декартова прямоугольная ск в пространстве ДПСКВП

ДПСКВП считается заданной если даны Е, 3 взаимоперпендик оси пересекающиеся в 1 т. О наз ее нач корд., и указано какая явл осью ОХ, ОУ, ОZ – это корд оси. Пусть т М это произвольная т в пространстве. Опустим перпендик на корд оси K, L, N – это проекции т. м на оси корд. Эти точки явл точкой пересеч с осями корд плоск. Перпендик этим осям и проходит через т. М. Первой корд (абс) т М наз число х= ОК, второй (ординат) т. М наз число у=OL третьей (аппликатой) т. М наз Z=ON. Если т. М имеет корд (х;у;z) то пишут также М(х;у;z). По определению корд т. М (0;0;0) любая т. М лежащая на оси ОХ имеет ординату у и аппликату z равные 0 и соответственно ……

Имеем 3 коорд плоскости XOY, YOZ, ZOX. Для точек лежащих в плоскости ХОУ аппликата z=0 и соотв…….

Каждая из этих плоскостей делит на 8 аттантов. Введение в пространстве дек прям ск позволяет каждой т в пространстве поставить в соотв упорядоченную 3-ку действ чисел корд этой точки и наоборот каждой упорядоченной 3-ке действ чисел соотв в пространстве единственная точка для которой эти числа явл ее корд в выбранной ск. Для постороения т. М по известной ее корд XYZ достаточно на оси OX построить т К для которой ОК=х на оси орд найти т. L для которой OL= у и на оси аппликат найти т N для которой ON=z. И через т. K, L,N провести плоскости перпендик соотв осям OX, OY, OZ, т. М лежащая в пересеч этих плоскостей будут иметь корд (xyz)

Линии и их уравнения на плоскостях

Пусть х и у переменные величины каждая из которых может принимать различные значения. Рассмотрим уравнение F(х, у)=0

Будем говорить что числа х0, у0 удовлетворяют уравнению, если подставив их вместо переменных х и у в выражение F(х, у) мы получим тождество F(х0,у0)=0 и наоборот если числа х0 и у0 не удовлетв уравнению то подставив их в левую часть вместо переменных х и у мы получим что F(х, у)не равно 0

2у-х=0; х=2, у=й – удовлетв;; х=3, у=1 – не удовлетв

Уравнение F(х, у)=0 может удовлетворять 1 пара действ чисел, несколько и даже безчисленное множество таких пар. Существует уравнение которым не удовл не 1 пара действ чисел х4+у2+1=0 х4+у2=-1 В аналит геометрии линии рассматр как геом место точек и их составлющее например окружность опред как геом место точек плоскости равно отстоящее от некоторой фиксир т плоскости, т. е центра окружности. Биссектр плоского угла можно рассматривать как геом место точек равноотстоящих от сторон этого угла. Пусть на данной плоскости выбрана декартова прямоуг ск ХОУ. Уравнение F(х, у)=0 связывающее 2 переменные величины х и у наз уравнением линии в выбранной с. к на плоскости, если корд любой т линии удовлетв этому уравнению а корд т не принадлежит линии – этому уравн не удовлетв. Т. о уравнение линии есть соотношение связыв корд т данной линии и только ее. Это соотнош представл собой аналит запись. Т. е запись с помощью формулы того свойства которое выделяет среди данной линии т. е уравнение линии это запись св-ва которое опред данное геометр место точек. Например возьмем окруж с радиусом Р и пусть центр т. О (а;в) Т. о окруж опред как геом место т отстоящих от т О на расстояние Р. (х-а)2+(у-в)2-Р2=0 . (х-а)2+(у-в)2=Р2

Уравнение прямой (с углов коэф)

Прямая м. б задана уравнением 1 степени относительно х и у; у=кх+в, в этом уравнении х и у явл корд произвольной т прямой а постоянные для данного уравнения в и к наз параметрами этого уравнения: к-углов коэф, а в –это начальная ордината. Геометрич смысл этих параметров след: к= tg gугла наклона прямой к оси абсц. в – нач ординат т. е отрезок отсекаемой прямой на оси ординат

Частные случаи: в=0 у=кх – прямая проходит через нач корд

К=0 у=в прямая параллельна абсц и пересек в в точке в

Х=а аналогично

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение 1 степ относит х и у (Ах+Ву+С=0) опред в прямоуг с. к ХОУ некоторую прямую. Возможные случаи: А, В, С не равны 0 разделим все члены уравн на коэф у=-А/Вх-С/В, обозначим через к=-А/В, в=-С/В, у=лх+в

А=0, В, С не равно 0, Ву+С=0 у=-С/В обозначим в, у=в – уравн прямой.

А, С не равно 0 В=0 Ах+С=0 х=-С/А, х=а уравн прямой проход через т А параллел оси орд.

С=0 А, В не равны 0, Ах+Ву=0 , у= -А/Вх, к=-А/В, у=кх – уравн прямой прох через нач корд.

А=0, С=0, В не равно 0 Ву=0 у=0 ось абсц

В=0, С=0 А не равно 0 Ах=0 х=0 ось орд.

Во всех случаях уравнения где А и В одновременно не равны – явл уравнением прямой. В прямоуг декарт с. к всякая прямая м. б представлена уравнением 1 степени и обратно любое уравнение 1 степ относит х и у опред прямую линию.

Уравнение прямой прох через данную точку в данном направлении

Необх сост уравнение прямой проход через т М0(х0;у0) и имеющ углов коэф К. Уравнение этой прямой можно записать как уравнение прямой с углов коэф у=кх+в. В этом уравнении начальная ордината в пока не известна т. к искомая прямая проходит через Мо, то корд этой т должны удовлетворять этому уравнеию, т. е у0=лч0+в, получим уравнение где 1 неизвестное в=у0-лх0 и у =кх=(у0-кх0), у-у0=к(х-х0), полученное уравнение наз уравнением прямой прох черех данную точку в заданном направлении

Уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки

Воспользуемся уравнением у-у0=к(х-х0) в этом уравнении к – неизвестно, т. к искомая прямая проходит через т М2 (х2;у2) то корд этой т должны удовл уравнению у2-у1=к(х2-х1) к= у2-у1 /х2-х1 Подставляя найденное знач к в уравнение получим искомое уравнение прямой проход через т М1 и М2 у-у1= у2-у1/х2-х1*(х-х1) и если у2 отлично от у1 получаем у-у1/у2-у1=х-х1/х2-х1

Уравнение прямой в отрезках по осям

Необходимо сост уравнение прямой если известно что она отсекает на си абсц отрезок а не равное 0 а на оси ордин в не равн 0. Пусть данная прямая отсекает на оси абсц отр ОА а на оси орд ОВ тогда т А(а,0), т В(0,в), у-0/в-0=х-а/о-а, у/в=х/-а) +1, х/а+у/в=1

Сколярное произведение векторов

Сколярное произведение 2-х векторов наз число равное произведению их длин, модулей умноженное на cjs угла м-ду ними. Обозначается (а, в), а*в, ав. Согластно опред имеем |ав|=|а|*|в|cos g. Скалярное произведение векторов а и в будет = 0 в 2 случаях: 1. Если хотя бы 1 из векторов а и в явл. Нулевым вектром; 2 Если векторы перпендик (ортоданальны) если скалярное произведение 2 х векторов =0 то либо эти векторы перпендикулярны либо 1 из них нулевой.