Теорема коши для односвязной области

Кроме этого длина обладает свойством аддитивности

что следует из аддитивности интеграла (8).

Вычислим длину единичной окружности:

.

Итак: число "пи" равно половине длины единичной окружности. Это есть геометрический смысл числа "пи".

И4[оценка интеграла] Пусть |f(z(t))| ≤ M для любого t∈ [a, b ] спрямляемой кривой L. Тогда |ò Lf(z) dz| ≤ M⋅ длина (L).

Вычислим интегралы (n∈ℤ ) , которые позже понадобятся для представления функции в виде суммы ряда.

Если n=1, то этот интеграл равен 2πi, иначе он равен нулю. Итак:

Как следствие получаем: если γk — окружность |z-z0|=𝜺 , проходимая против часовой стрелки k раз, то ∮γ _k dz/(z-z0) =2πki.

15  Теорема Коши

15.1  Теорема Коши для односвязной области

Пусть функция f(z)=u(x, y)+iv(x, y) аналитична на замкнутой ограниченной многосвязной области D, и L — замкнутая кусочно-гладкая кривая. Преобразуя интеграл ∮L u dx-v dy по формуле Грина к двойному интегралу и учитывая условия Коши—Римана, получаем, что значение этого интеграла равно нулю. Аналогично доказывается равенство ∮L udy+vdx=0. Итак:

Теорема Коши. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции в односвязной области равен 0 .

Теорема. Пусть аналитична в открытой ограниченной односвязной области D и непрерывна на ее замыкании. Тогда интеграл по границе этой области равен 0

Теорема. Пусть аналитична в некоторой односвязной области G. Тогда интеграл по всякой дуге, находящейся внутри области G зависит только от положения начальной и конечной точки и является аналитической функцией. При этом

Доказательство. Заметим, что действительнозначная функция двух переменных Φ (x, y)=ò(x, y) u dx-v dy — потенциал векторного поля (u,-v), а функция Ψ (x, y)=ò(x_0,y_0)(x, y) v dx+u dy — потенциал векторного поля (v, u). Тогда

∂ (Φ +iΨ )/ ∂x =u+iv, ∂ (Φ +iΨ )/ ∂y =-v+iu,

откуда и следует результат. Отсюда получаем формулу для функций комплексного переменного, аналогичную формуле Ньютона-Лейбница:

15.2  Распространение на многосвязные области

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть аналитична в многосвязной области D и непрерывна на ее замыкании, тогда интеграл по границе области D равен 0:

∮∂D f(z) dz=0.

Доказательство. Разрезая, можно превратить многосвязную область в односвязную. Так, например, на рис.

D

Рис. Разрезание многосвязной области

D — двусвязная область, ограниченная двумя гладкими кривыми L1 и L2. Тем самым ∂D=L1+L2. Разрезая эту область по кривой γ, получаем односвязную область Dγ с границей L1+L2+γ +γ-. Интеграл от функции f(z) по этой границе равен 0 по предыдущей теореме Коши. Тогда

∮∂D f(z) dz=∮∂D f(z) dz+òγ f(z) dz+òγ ^- f(z) dz=∮∂(Dγ) f(z) dz=0.

16  Интегральная формула Коши

Пусть непрерывна на замкнутой ограниченной области D с границей L=∂D и интеграл от нее по любому замкнутому контуру равен нулю. Выберем точку внутри области и рассмотрим круг , целиком лежащий внутри области D. Обозначим через cρ окружность |z-a| = ρ , проходимую один раз против часовой стрелки. Тогда по условию имеем:

В силу непрерывности функции , для любого 𝜺 >0 найдется ρ =ρ (𝜺 )>0 такое, что для любых на окружности cρ . Отсюда получаем оценку:

Ввиду соотношения ( 1) и равенства , извлекаем неравенство

Переходя здесь к пределу 𝜺 → 0, получаем интегральную формулу Коши

Интегральную формулу удобно переписать в виде

где ζ — переменная, пробегающая границу области D, а z — любая внутренняя точка области D. Тогда формула Коши (2) выражает следующий факт:

значения аналитической функции внутри области однозначно определяются значениями на границе этой области.

Применим интегральную формулу, когда L — окружность радиуса R с центром в точке . Учитывая, что (0≤ 𝜑 ≤ 2π ) и dz=Riei𝜑 d𝜑 , получаем

В правой части стоит среднее интегральное значений функции f(z) на окружности L. Отсюда вытекает

Принцип максимума: модуль функции, отличной от постоянной и аналитичной в некоторой области, не может ни в одной внутренней точке этой области принимать максимальное для этой области значение.

Формула для интегрального представления производных высших порядков функции f(z) получается дифференцированием (2) под знаком интеграла:

17  Ряд Тейлора

Рассмотрим функцию f(z), аналитическую внутри замкнутого круга D с центром в точке a. Тогда для любой внутренней точки z этого круга имеет место равенство