Сложные проценты

где r1, r2, …, rk – последовательные значения ставок;

n1, n2, …, nk – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.

Пример 3.2. Срок ссуды – 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся. Найти множитель наращения.

Решение.

мн = (1+0,125)2×(1+12,75)3 = 1,814.

3.1.2. Начисление процентов при дробном числе лет

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В некоторых коммерческих банках дробная часть долга отбрасывается и считается только целая часть. В большинстве случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода: 1) расчет по формуле (3.1); 2) смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

S = P (1 + a×i) (1+ r)b, (3.3)

где a – дробная часть срока задолженности, b – целая часть срока задолженности, n = a + b – срок ссуды, i = r – при целой части сложный процент, при дробной – простой.

Пример 3.3. Кредит в размере 3 млн. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% годовых. Определить сумму долга на конец срока двумя способами, если K = 365*.

Решение.

1) S = = 5,086 593 млн. руб.

2) S = = 5,071 932 млн. руб.

* Если временная база не оговорена, то брать 360/360.

3.2. Наращение процентов m раз в году.

Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:

S = P (3.4)

Пример 3.4. Какой величины достигнет долг, равный 25000 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке под 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?

Решение.

1) S = 5,7 = 59703,22 руб.

2) S = 25000×(1 + )12×5,7 = 63622,59 руб.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Пример 3.5. Какова сумма долга через 25 мес. если первоначальная сумма 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%, начисление поквартальное. Определить 2-мя способами – общим и смешанным.

Решение. 25 мес. = 2 года и 1 мес.(30 дней).

1) S = = 750,840 тыс. руб.

2) S = = 741,806 тыс. руб.

Эффективная ставка (действительная). Эта ставка измеряет тот реальный доход вкладчика, который получают в целом за год от начисления процентов. Т. е. это годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу:

(1+rэ)n = (1+)mn.

Решив это уравнение относительно rэ и j, получим:

rэ = (1+)m – 1; j = m . (3.5)

Из формулы (3.5) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку rэ не изменит финансовых обязательств участников сторон, т. е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Пример 3.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка 25%, начисление процентов помесячно?

Решение.

rэ = (1+)12 – 1 = 0,28 (28%).

Т. е. данные обязательства будут эквивалентны (28% годовых или 25% помесячно).

3.3. Дисконтирование по сложной ставке

Определение дисконтирования по сложной ставке то же, что и по простой. Используя (3.1) и (3.4), получим формулы дисконтирования сложных процентов:

; . (3.6)