Сложение и вычитание комплексных чисел

  1.1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма и разность комплексных чисел

z1=x1+iy1 и z2 = x2+iy2 определяются по формулам

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2),

z1-z2 = (x1-x2) + i(y1-y2).

Отсюда следует, что действительная и мнимая части суммы и

разности комплексных чисел определяются так же, как координаты суммы и разности соответствующих векторов на плоскости. При этом следует придерживаться правила: начало всех векторов помещать в начало координат (рис.1.2). В частности, из треугольников с вершинами в точках 0, z1, z1+z2 и

0, z1, z1-z2 следует, что Рис.1.2

½z1±z2ê £ ÷z1÷ + ÷z2ê, êz1±z2ç ³ êêz1ê — êz2êê. (1.3)

1.1.3. Умножение и деление комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и

z2=x2+iy2 производится по правилу умножения многочленов, при этом учитывается, что i2 = -1, i3 = —i, i4 = 1 и так далее

(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1). (1.4)

Из формулы (1.4), в частности, следует, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом, равным квадрату модуля этих чисел

=`(x+iy)(x-iy) = x2+y2 = ½z½2. (1.5)

Сумма двух взаимно сопряженных чисел также является действительным числом

z+ = (x+iy) + (x-iy) = 2x = 2Rez. (1.6)

Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: частным от деления числа z1 на число z2 называется число z такое, что z∙z2 = z1. Это равенство невозможно, если z2=0, а z1¹0. Это означает, что деление на 0 невозможно.

Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2¹0, z=x+iy. Тогда, в силу определения частного,

(x+iy) (x2+iy2)=x1+iy1

или

(x2x-y2y)+i(y2x+x2y)=x1+iy1.

Приравнивая действительную и мнимую части в этом равенстве, получим систему уравнений для определения x и y

Отсюда находим, что

.

Таким образом,

(1.7)

Этот же результат можно получить по-другому. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби z1/z2 умножить на число, сопряженное к знаменателю, и произвести умножение чисел в числителе и в знаменателе.

Если комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:

z1=r1(cosj1+isinj1), z2=r2(cosj2+isinj2),

то

z1z2=r1(cosj1+isinj1) r2(cosj+isinj)=

=r1r2 ((cosj1 cosj2-sinjsinj2)+i(sinjcosj2+cosj1sinj2)=

=(r1r2)(cos(j1+j2)+isin(j1+j2). (1.8)

Отсюда следует, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Пусть теперь z1/z2 = z = r(cosj + isinj). Так как z2z=z1,

то, в силу (1.8), r2r=r1, j2+j=j1.

Отсюда следует, что r=r1/r2, j=j1-j2:

z1/z2=(r1/r2)(cos(j1-j2)+isin(j1-j2)), (1.9)

то есть

½z1/z2½=½z1½/½z2½, Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2.

1.1.4. Возведение комплексных чисел в целую

положительную степень. Формула Муавра.

Извлечение корня из комплексных чисел

Как и для действительных чисел, n-я степень комп-плексного числа z определяется как произведение n одинаковых множителей z

zn = z× z× z× … z.

n — множителей

Если число z задано в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj), то, в силу (1.7 получаем

(r(cosj+isinj))n=rn(cosnj+isinnj): (1.10)

при возведении комплексного числа в n-ю степень его модуль возводится в n-ю степень, а аргумент умножается на n.

В частности, если r=1, то

(cosj+isinj)n=cosnj+isinnj. (1.11)

Соотношение (1.8) называется формулой Муавра. С помощью формулы Муавра легко решается следующая тригонометрическая задача. Выразить cosnj и sinnj через степени функций cosj и sin j. Например, при n=3 из формулы (1.11) следует, что

cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j=cos3j + isin3j.

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получаем

cos3j = cos3j-3cosjsin2j, sin3j = 3cos2j sinj — sin3j.

Заметим, что формулы (1.10) и (1.11) справедливы и для целых отрицательных n. В самом деле, пусть N=-k (k>0). Тогда

[r(cosj+isinj)]n=1/[r(cosj+isinj)]k=1/[rk(coskj+isinkj)]=

=r-k[cos(-kj)+isin(-kj)]= rn(cosnj+isinnj).

Переходим к операции извлечения корня из комплексных чисел. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w, для которого выполняется равенство wn=z. Пусть число z¹0 задано в тригонометрической форме: z=r(cosj+isinj), и пусть число w==r(cosq+isinq). Из определения, корня n-й степени из z следует, что

(r(cosq+isinq))n=r(cosj+isinj)

или

rn(cosnq+isinnq)=r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что rn=r, nq=j+2kp, где k – любое целое число. Так как r положительное число, то из первого равенства следует, что r=, где — арифметический корень n-й степени из числа r. Из второго равенства находим, что q=(j+2kp)/n.

Таким образом, формула для извлечения корня n-й степени из комплексного z¹0 имеет вид

= . (1/12)

Придавая k значения 0,1,2,…., n-1, получим n различных значений корня n-й степени из числа z. Изображения этих значений на комплексной плоскости являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат. Аргумент одной из вершин равен

j/n. Все значения корня n-й степени из числа z=0 совпадают и равны 0.

Пример: Найти все значения .

В тригонометрической форме

-1=cosp+isinp, (½-1½=1, arg(-1)=p).

По формуле (1.12) находим, что

w==1(cos((p+2kp)/4)+isin((p+2kp)/4)), k = 0,1,2,3;

w0=cosp/4+isinp/4 =(+i)/2,