Расширенная комплексная плоскость

Доказательство вытекает из непрывности отображений и А именно, если мало, то и малы, а также если малы, то мал (модуль мал). □

Предложение 2. Из абсолютной сходимости следует сходимость ряда.

Докажем этот факт. Обозначим . Тогда для любого 𝜺 >0 найдется, благодаря критерию Коши, натуральное N такое, что для любых имеет место неравенство Без ограничения общности можно считать, что . Тогда

Применяя снова критерий Коши к ряду , получаем его сходимость. □

6  Расширенная комплексная плоскость

Открытую область |z|>R считаем R-окрестностью бесконечно удаленной точки ∞ . Считаем:

z/∞ = 0, ∞ +z=z+∞ =∞ (z∈ ℂ ), c/0 =∞ , ∞ ⋅ c=c⋅ ∞ =∞ (c∈ ℂ *).

Поле комплексных чисел, пополненное элементом ∞, с определенными для него выше правилами, назовем расширенной комплексной плоскостью.

Поместим комплексную плоскость ℂ в трехмерное пространство и рассмотрим в этом пространстве сферу Римана . Точку N(0,0,1) назовем северным полюсом, а точку S(0,0,-1) назовем южным полюсом. Построим стереографическую проекцию сферы Римана на комплексную плоскость, т. е. отображение ℂ такое, что для любой точки P∈ ℜ , не совпадающей с северным полюсом, точки N, P и (P)∈ ℂ лежат на одной прямой. Получаем биективное соответствие между точками сферы Римана с выброшенным северным полюсом и точками комплексной плоскости.

Предложение. Стереографическая проекция задается формулами:

Если последовательность точек Pn на сфере Римана стремится к N, то и наоборот, если последовательность комплексных чисел стремится к ∞ , то приближается к северному полюсу по сфере Римана.

7  Дробно-линейная функция

7.1  Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана

Функция вида , где a, b,c, d∈ ℂ и ad-bc≠ 0, называется дробно-линейной . В частности, дробно-линейной функцией будет всякая линейная функция w=az+b с a≠ 0. Дробно-линейная функция неопределена в точке — d/c, но нетрудно вычислить, что предел функции при равен ∞. Полагаем по определению w(-d/c)=∞ и, кроме того, ясно, что w(∞ )=a/c. Тогда дробно-линейная функция задает биективное преобразование расширенной комплексной плоскости.

Предложение. Обратная к дробно-линейной функции также будет дробно-линейной функцией . Композиция дробно-линейных функций снова будет дробно линейной функцией.

7.2  Инверсия.

Для изучения свойств дробно-линейных преобразований понадобится понятие инверсии относительно окружности γ радиуса R с центром в точке O. Точки P и P’ называются инверсными относительно γ, если они лежат на одном луче, выходящем из точки O, и произведение расстояний от них до точки O равно R2:

OP⋅ OP’=R2. (1)

A P

O P’

Рис. 1 Инверсия относительно окружности

Преобразование евклидовой плоскости, переводящее всякую точку P, не совпадающую с O в инверсную точку P’, называется инверсией. При инверсии точки окружности γ остаются неподвижными, внутренность круга OP'<R переходит во внешность этого круга и наоборот. Из определения инверсии вытекает геометрический способ построения инверсной точки P’ по заданной точке P (рис. 1). Рассмотрим лишь случай, когда P лежит вне круга. Проводим касательную к окружности γ из точки P. Пусть A — точка касания. Опускаем перпендикуляр из точки A на луч OP. Инверсная точка P’ будет основанием этого перпендикуляра. Это следует из подобия треугольников OAP’ и OAP:

OA / OP = OP’/OA, откуда R2=OA2=OP⋅OP’.

При инверсии центр круга переходит в бесконечно удаленную точку. Наоборот, если P→ ∞ , то P’→ O.

Предложение. Если евклидову плоскость превратить в плоскость комплексного переменного так, что точка O изображает нулевое комплексное число, то инверсия будет задаваться формулой

Действительно, числа z и R2/|z|2 z отличаются положительным множителем. Это показывает, что точки z и R2/ лежат на одном луче. Далее,

| z| ⋅ | R2/|z|2 z| =|z|⋅ R2⋅ |z|/|z|2 =R2.

Предложение. Если на рис. 1 фиксировать точки P и M, а точку O устремить в бесконечность влево по горизонтальной прямой, то окружность γ будет приближаться к перпендикуляру в точке M, а точка P’ будет стремиться к точке, симметричной P относительно этого перпендикуляра. Иными словами, симметрия относительно прямой есть предельный случай инверсии относительно окружности "бесконечно большого радиуса".□

Теорема (геометрическая характеристика дробно-линейных преобразований).

1. Преобразование есть поворот на угол относительно 0.