Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Практикум по высшей математике 2015

Практикум по высшей математике 2015

1. Теория пределов. 4

2. Элементы дифференциального исчисления. 11

3. Исследование функций одной переменной. 16

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 20

5. Экстремумы функций нескольких переменных. 24

6. Элементы интегрального исчисления (неопределенные интегралы) 26

7. Определенные интегралы.. 33

8. Ряды.. 41

9. Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). 49

  1 Теория пределов

Вопросы для повторения

  Понятие функции, области определения и множества значений функции.

  Понятие четности, нечетности и периодичности функции.

  Понятие предела функции в точке и на бесконечности.

  Первый и второй замечательные пределы.

  Понятие непрерывности функции.

  Свойства непрерывных функций.

Найти области определения функции

1. 

Ответ:

2. 

Ответ:

3. 

Ответ:

4. 

Ответ:

5. 

Ответ:

6. 

Ответ:

7. 

Ответ:

8. 

Ответ:

9. 

Ответ:

10. 

Ответ:

11. 

Ответ:

12. 

Ответ:

13. 

Ответ:

Найти множество значений функции

14. 

Ответ:

15. 

Ответ:

16. 

Ответ:

17. 

Ответ:

Установить четность или нечетность функций

18. 

Ответ: Четная

19. 

Ответ: Нечетная

20. 

Ответ: Четная

21. 

Ответ: Четная

22. 

Ответ: Нечетная

23. 

Ответ: Не четная и не нечетная

Найти пределы последовательности при

24. 

Ответ:

25. 

Ответ:

26. 

Ответ: 0

Найти пределы последовательности при используя замечательные пределы

27. 

Ответ: 1

28. 

Ответ:

29. 

Ответ:

30. 

Ответ:

31. 

Ответ:

Найти пределы функций

32.  ;

Ответ: 1

33.  ;

Ответ:

34. 

Ответ: 0,2

35. 

Ответ:

36. 

Ответ: 0,04

37. 

Ответ:

38. 

Ответ:

Найти пределы функций, используя замечательные пределы

39.  ;

Ответ: 0,2

40.  ;

Ответ:

41.  ;

Ответ:

42.  ;

Ответ:

43.  ;

Ответ: 1

44. 

Ответ:

45. 

Ответ:

46. 

Ответ:

47. 

Ответ:

48. 

Ответ:

Найти односторонние пределы

49. 

Ответ: 0

50. 

Ответ:

51. 

Ответ: 1

52. 

Ответ: 0

53. 

Ответ:

54. 

Ответ:

55. 

Ответ: 1

56. 

Ответ: -1

57. 

Ответ:

58. 

Ответ: 0

Исследовать функции на непрерывность

59.  Найти точки разрыва функции

Решение:

Подозрительными на разрыв являются точки и решение уравнения , т. е.

т. е. – разрыв 2 рода;

т. е. – разрыв 1 рода.

60.  Найти точки разрыва функции

Ответ: – разрыв 1 рода;

– разрыв 2 рода.

61.  Найти точки разрыва функции

62.  При каком значении будет непрерывной функция

Решение:

Следует принять

2 Элементы дифференциального исчисления

Контрольные вопросы к теме

  Понятия приращения аргумента и приращения функции.

  Производная функции, ее геометрический смысл.

  Понятие дифференцируемости функции.

  Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.

  Понятие сложной и обратной функции.

  Правила вычисления производных сложной и обратной функций.

  Основные теоремы дифференцирования.

  Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.

  Производные высших порядков.

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций

63. 

Ответ:

64. 

Ответ:

65. 

Ответ:

66. 

Ответ:

67. 

Ответ:

Пример. Найти производную функции:

Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, – необходимо применять прием логарифмического дифференцирования.

Этот прием основан на соотношении

.

Решение: