Построить график функции без применения производной

Построим схему графика функции вблизи точки разрыва:

Задание 2. Построить график функции без применения производной

Решение:

1. Область определения функции ,

— не существует, значит — точка разрыва.

2. Найдём односторонние пределы функции:

Вычислим левосторонний предел в точке:

Вычислим правосторонний предел в точке:

Значит, точка — точка разрыва II рода.

3. Найдём пределы функции на бесконечности:

Строим график функции по результатам исследования:

Методические указания и пример типового расчёта

задания №32 "Математического тренинга" по теме

«Исследование функции на экстремум по второй производной»

Если в критической точке (в которой производная или не существует) вторая производная функции положительна, то в этой критической точке будет точка минимума (Рис.1), а если в критической точке вторая производная отрицательна, то в этой точке будет точка максимума (Рис.2).

Рис.1 Рис.2

Правило исследования функции на экстремум по второй производной:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, решив уравнение

3. Найти производную .

4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.

5. По знаку производной сделать вывод о том, является ли критическая точка точкой максимума или точкой минимума.

6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.

Примечание:

Если в критической точке вторая производная оказалась равна нулю, то это неопределённый случай, и тогда исследовать на экстремум придётся по первой производной.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум по второй производной.

Решение:

1. Найдём первую производную: ;

2. Найдём критические точки функции: , тогда получим уравнение

,

,

,

, — критические точки функции;

3. Найдём вторую производную: ;

4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:

, значит, точка — точка max,

, значит, точка — точка min;

5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:

;

Ответ: при ,

при .

Методические указания и примеры типового расчёта

задания №34 "Математического тренинга" по теме

«Исследование функции по первой и второй производной

и построение графика функции»

Пример 1. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график:

Решение:

1. Область определения функции ;