Понятие равномерной непрерывности

Лекция 3-4.

Более тонкое понятие равномерной непрерывности в g.

Определение. "Функция комплексной переменной f(z), zÎg, называется равномерно непрерывной в g, если для "e>0 $d(e)>0 (зависящее только от e) : такое, что для "z1, z2 Ì g : ½z1-z2½<d ; ½f(z1)-f(z2)½<e".

Любые d — близкие точки области g отображаются на соответствующие e-близкие точки области D.

Очевидно, что из равномерной непрерывности в g следует f(z)ÎС(g).

Обратное, вообще говоря, не всегда верно.

Определение. Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге (т. е. $ R>0 и z0 : gÌ{z| |z-z0|<R}).

Если компактное множество не содержит бесконечно удаленной точки, то оно ограничено.

Теорема 3.3. Если f(z)ÎC(`g) и `g ограничена то f(z)- равномерно непрерывна в `g.

Доказательство. (от противного) Пусть для заданного e0 и для "dn>0 найдутся хотя бы две точки такие, что |z1(n)-z2(n)|<dn, а |f(z1(n))-f(z2(n))|>e0. Устремив dn®0, получим последовательности {z1(n)} и {z2(n)}, удовлетворяющие данным неравенствам. Т. к. {z1(n)} ограничена по условию, то из нее можно извлечь {z1(nl)}®z1. При этом {z2(n)}- ограничена и из нее можно извлечь {z2(nl)}®z2. Т. к. {z1(nl)}®z1, а dn®0, то z1=z2, и в силу сделанного предположения

|f(z1)-f(z2)|>e0, что противоречит условию непрерывности f(z) )ÎC(`g). n

Функцию комплексной переменной f(z) можно представить в виде f(z)=u(x, y)+iv(x, y), где u(x, y) и v(x, y)- действительные функции действительных переменных. Тогда справедлива

Теорема. Необходимым и достаточным условием f(z)ÎC(g) является требование, чтобы u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в области g плоскости (x, y) по совокупности переменных.

Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.

§4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции.

Пусть f(z)ÎC(g).

Определение. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z0Îg, если при Dz®0 (Dzºz-z0) $ конечный предел разностного отношения

где (z0).

Центральная идея теории функций комплексной переменной возникает при формулировке понятия производной. На первый взгляд эта производная определяется совершено аналогично производной функции действительной переменной, как предел разностного отношения .

Однако, приращение комплексного аргумента Dz характеризуется не только величиной |Dz|, но и направлением arg Dz, а производная по определению от этого направления не зависит. Поэтому дифференцируемость функции комплексного переменного — значительно более редкое явление, чем дифференцируемость функции вещественного переменного, а дифференцируемые функции комплексного переменного — аналитические функции- обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительной переменной.

Важнейшая задача ТФКП — обсудить свойство аналитичности с разнообразных точек зрения, дать его характеристики на разных языках.

Дифференциал функции определяется, как в случае функции действительного переменного: — дифференциал независимого переменного z.

Теорема 4.1. Если f(z)=u(x, y)+iv(x, y) дифференцируема(моногенна) в точке z0, то $ ux(x0,y0), uy(x0,y0), vx(x0,y0), vy(x0,y0), причем они связаны условиями

Коши-Римана: ux(x0,y0)=vy(x0,y0) ; uy(x0,y0)=-vx(x0,y0).

Доказательство. Dz=Dx+iDy. Т. к. предел, если он $, не зависит от способа стремления Dz®0, то положим сначала Dz=Dx. Получим

= ux(x0,y0)+ ivx(x0,y0)=*. Положив Dz=iDy получим *=

= — iuy(x0,y0)+vy(x0,y0). Приравнивая вещественную и мнимую часть получим =vy(x0,y0) ; uy(x0,y0)=-vx(x0,y0). — условия Коши-Римана. n

Пусть f(z)ÎC(g) и f(z)=u(x, y)+iv(x, y).

Теорема 4.2 Если в точке z0=(x0,y0) Îg $ первые дифференциалы функций u(x, y) и v(x, y) и первые частные производные этих функций в точке (x0,y0) связаны условиями Коши-Римана, то f(z) – дифференцируемая (моногенная) функция в точке z0.

Доказательство. Заметим, что $ первых дифференциалов означает, что

Du= ux(x0,y0)Dx+uy(x0,y0)Dy+x(x, y); Аналогично

Dv= vx(x0,y0)Dx+vy(x0,y0)Dy+h(x, y); Обозначим V(x, y)=x(x, y)+ih(x, y).

Тогда =(т. к. uy=-vx и vy=ux).

+

.=>$ n

Замечания.

1.  Эквивалентные формы записи производной: f’(z)=ux(x, y)+ivx(x, y)=vy(x, y)+ivx(x, y)=ux(x, y)-iuy(x, y)=vy(x, y)-iuy(x, y)

2.  Теорема 4.2 не является обратной к теореме 4.1. Равенство равносильно тому, что для "e>0 $d(e)>0: такое, что |Df/Dz – f’(z0)|< e как только |Dz|<d.=>Если f(z) дифференцируема(моногенна) в точке z0, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно. Или функция дифференцируема по каждой переменной, но не дифференцируема по совокупности переменных.

Пример.

Основное определение. Функция f(z)ÎC(g), дифференцируемая (моногенная) во всех точках zÎg, производная которой f'(z)ÎC(g) называется аналитической функцией в области g.

Обозначение: f(z)ÎC¥(g).

Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g.

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z)=u(x, y)+iv(x, y) в области g, являются непрерывность первых частных производных ux, uy, vx, vyÎC(g) и связь их условиями Коши-Римана.

Доказательство.

Необходимость. f(z)ÎC¥(g)=> f'(z)ÎC(g)=>ux, uy, vx, vyÎC(g). Выполнение условий Коши-Римана следует из Теоремы 4.1.

Достаточность. ux, uy, vx, vyÎC(g)=> $ первые дифференциалы функций u(x, y), v(x, y)=> по теореме 4.2 $ f'(z)ÎC(g)=ux+ivx; непрерывность f'(z) следует из непрерывности частных производных. n

Замечание. В дальнейшем будет показано, что из f(z)ÎC¥(g)=> f'(z)ÎC¥(g) и для "n $ f(n)(z)ÎC¥(g), что оправдывает введенное определение.

Замечание. Аналитичность функции f(z) в точке zÎg подразумевает аналитичность (выполнение условие теоремы) в некоторой окрестности точки z, принадлежащей области g.

Основное замечание. Включение в основное определение условия f'(z)ÎC(g) — масло масляное.

Основное определение может быть таким: "f(z) называется "аналитической" в g, если она дифференцируема(моногенна) во всех точках zÎg." и вместо

Теоремы 4.2 будет

Теорема 4.4. Если u(x, y) и v(x, y) ÎC(g) и в точке z0=(x0,y0) Îg $ первые частные производные ux, uy, vx, vy связаные условиями Коши-Римана, то f(z) – дифференцируемая (моногенная) функция в точке z0.

Доказательство достаточно сложное (см. например И. И. Привалов "Введение в теорию функций комплексной переменной.")

и

Теорема 4.5. Необходимым и достаточным условиями "аналитичности" функции f(z)=u(x, y)+iv(x, y) в области g, являются непрерывность

u(x, y), v(x, y)ÎC(g) и в " точке z=(x, y)Îg $ первые частные производные

ux, uy, vx, vy, связанные условиями Коши-Римана.

Однако, оказывается, что производная f'(z) "аналитической функции" непрерывна в g, причем для "n f(n)(z)ÎC(g), т. е. класс "аналитических функций" не является расширением введенного нами класса, а полностью с ним совпадает!! Поэтому мы будем пользоваться введенным определением, что в дальнейшем облегчит нам многие доказательства!!