Понятие области на комплексной плоскости

w1=cos3p/4+isin3p/4=(-+i)/2,

w2=cos5p/4+isin5p/4 =(-—i)/2,

w3=cos7p/4+isin7p/4 =(—i)/2. Рис.1.3

На рис 1.3 построены изображения точек w0, w1, w2, w3.

1.2. Комплексная плоскость.

Понятие области на комплексной плоскости.

Понятие предела последовательности комплексных чисел

Ранее мы определили комплексную плоскость как плоскость XOY, которая служит для изображения комплексных чисел. Расширенной комплексной плоскостью называется плоскость XOY, дополненная

идеальной (воображаемой)

точкой z = ¥, называемой

бесконечно удаленной точкой.

Чтобы лучше понять роль

этой точки, построим в прост-

ранстве OXYZ сферу с центром в

в точке M(0;0;1/2) радиуса R = 1/2 Рис.1.4

(рис.1.4). Любую точку z = x+iy соединим прямой с точкой N на сфере. Точка P пересечения этой прямой со сферой называется стереографической проекцией точки z на сферу.

Если ½z½®¥, то точка P приближается к точке N. Поэтому естественно считать точку N стереографической проекцией бесконечно удаленной точки. Роль точки z = ¥ подобна роли точки N на сфере.

Окрестностью точки z0 называется совокупность внутренних точек любого круга с центром в точке z0 радиуса r, то есть совокупность точек z, удовлетворяющих неравенству ½z-z0½ < r.

Окрестностью бесконечно удаленной точки называется совокупность точек, лежащих вне любого круга с центром в начале координат, то есть множество точек, удовлетворяющих неравенству ½z½ > R.

Пусть E — множество точек комплексной плоскости. Точка z называется внутренней точкой множества E, если существует окрестность этой точки, принадлежащая множеству E. Точка z называется граничной точкой множества E, если любая окрестность этой точки содержит точки, принадлежащие множеству E, и точки, не принадлежащие этому множеству. Множество Г всех граничных точек множества E называется границей множества E.

Множество E называется открытым множеством, если оно состоит из одних внутренних точек. Множество E называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества E. Всякое открытое связное множество D на комплексной плоскости называется областью. Область D называется односвязной, если любую замкнутую кривую в этой области можно непрерывно стянуть в точку, не пересекая границу области. В противном случае область D называется многосвязной.

На рис. 1.5 изображены односвязная область D и многосвязная область W.

Множество, состоящее из точек области D и ее границы Г, называется замкнутой областью и обозначается `D. Обход границы Г области D считается положительным, если при движении в этом направлении точки области D остаются слева.

Рис. 1.5

Множество, состоящее из точек области D и ее границы Г, называется замкнутой областью и обозначается `D. Обход границы Г области D считается положительным, если при движении в этом направлении точки области D остаются слева. На рис.1.5 положительное направление обхода границы Г отмечено стрелками.

Рассмотрим теперь последовательность комплексных чисел

z1, z2,…., zn,….

Число z0 называется пределом последовательности {zn}, если для любой окрестности точки z0 существует число N такое, что все числа zn при n > N принадлежат этой окрестности. В этом случае пишут

.

Это определение справедливо и тогда, когда z0=¥ – бесконечно удаленная точка.

Последовательность {zn} называется сходящейся, если предел z0 этой последовательности – конечное число.

Пусть zn = xn+iyn, z0 = x0+iy0. Легко доказать, что если последовательность {zn} имеет конечный предел z0, то последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы x0 и y0, и наоборот, если существуют конечные пределы

, ,

то

zn = z0 = x0+iy0.

1.3. Комплексные функции

1.3.1. Комплексные функции

действительного переменного

Если каждому значению действительной переменной t по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенное значение комплексной переменной z = x+iy, то говорят, что задана комплексная функция z(t). Ясно, что действительная и мнимая части переменной z также являются функциями от t: x = x(t), y = y(t), то есть z(t) = x(t) + iy(t). Задание комплексной функции z(t) равносильно заданию двух действительных функций x(t) и y(t).

Пусть задана функция z(t). Тогда каждому значению переменной t на комплексной плоскости соответствует точка z. При изменении t точка z опишет на комплексной плоскости некоторую кривую (L) (рис.1.6). Уравнение z=z(t) называется комплексно параметрическим уравнением этой кривой. Параметрическим уравнением кривой (L) служит система уравнений

x = x(t),

y = y(t).

Рис.1.6 Рис.1.7

Пример: Составить комплексно параметрическое уравнение окружности с центром в точке z0 = x0+iy0 радиуса R.

Окружность является геометрическим местом точек, для которых ½z—z0½ = R (рис. 1.7). Таким свойством обладают только числа, для которых z—z0 = Reit. Следовательно, уравнение

z = z0 + Reit

является комплексно параметрическим уравнением окружности.

Для комплексных функций действительной переменной естественным образом определяются понятия предела, непрерывности, производной и другие.

Например, если z(t) = x(t)+iy(t), то

,

z(t)dt = x(t)dt + iy(t)dt.

1.3.2 Комплексные функции

комплексного переменного

Аналогично определяется понятие комплексной функции комплексного переменного. Если каждому значению ком-

плексного переменного z = x+iy по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенное значение комплексного переменного w = u+iv, то говорят, что задана комплексная функция комплексного переменного и пишут w = f(z). Действительная и мнимая части функции f(z), очевидно, являются функциями от z = x + iy, то есть от двух действительных переменных x и y: u = u(x, y), v = v(x, y), так что

f(z) = u(x, y) + i v(x, y).

Таким образом, задание комплексной функции f(z) от комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) от двух действительных переменных x и y. Примерами функций от комплексной переменной являются степенные функции z , z2, z3, …, многочлены Pn(z) = c0 + c1z+ …+cnzn, дробно-рациональные функции

.

Например, для функции f(z) = z3 имеем

z3 = (x+iy)3 = x3 — 3xy2 + i(3x2y — y3),

то есть

Re f(z) = u(x, y) = x3-3xy2, Im f(z) = v(x, y) =3x2y— y3.

Каждой действительной функции f(x) действительного переменного x ставится в соответствие некоторая кривая на плоскости XOY — график этой функции. Такое наглядное представление функций от комплексного переменного невозможно. Вместо этого используется понятие отображения. Для этого рассмотрим две плоскости комплексной переменной: плоскость XOY и плоскость UOV (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Функция f(z) каждой точке z на плоскости XOY из области определения этой функции ставит в соответствие точку w на плоскости UOV. Точка w называется образом точки z, а

точка x — прообразом точки w. Если прообразы z образуют некоторую линию на плоскости XOY, то образы этих точек образуют некоторую линию на плоскости UOV, если точки z заполняют область D на плоскости XOY, то их образы образуют некоторую область W на плоскости UOV, при этом граничные точки области D переходят в граничные точки области W. Говорят, что функция f(z) осуществляет отображение облас-

ти D на область W.

Пример: Рассмотрим функцию w=1/z. Если z=reij, то

w = (1/r)e—ij. Это означает, что точка w = 1/z лежит на том же луче, выходящем из точки z = 0, что и точка `z, на расстоянии 1/r от начала координат (рис. 1.9). Если ½z÷= 1, то ½w½ = 1, то есть единичная окружность на плоскости XOY переходит в единичную окружность на плоскости UOV. Круг ½z½ < 1 отображается во внешность круга ½w½ > 1, точка z=0 отображается в точку w=¥, и наоборот, точка z =¥ переходит в

Рис.1.9 точку w = 0.

Понятия предела, непрерывности, производной для функций комплексного переменного определяются точно так же, как и для функций действительного переменного. Например, число w0 называется пределом функции f(z) при z ® z0, если для любого e > 0, как бы мало оно ни было, существует число
d = d(e) такое, что неравенство ½f(z)-w0½ < e выполняется для всех z, удовлетворяющих неравенству ½z — z0½ < d, кроме, быть может, точки z0. В этом случае пишут .

Если z=x+iy, f(z)= u(x,y)+iv(x, y), z0 = x0+iy0, w0=u0+iv0,

то справедливо утверждение: тогда и только тогда, когда и .

Отметим здесь одно важное обстоятельство. Для функций действительного переменного f(x) справедлива теорема: тогда и только тогда, когда оба односторонних предела и существуют и равны между собой. Для функций комплексного переменного соответствующая теорема формулируется следующим образом:

предел функции f(z) при z®z0 существует тогда и только тогда, когда существуют пределы этой функции, если z®z0 по любой кривой L, проходящей через точку z0, и если все эти пределы равны между собой. Это означает, что существование предела накладывает на функции комплексного переменного более жесткие ограничения, чем на функции действительного переменного.

Далее, функция f(z) называется непрерывной в точке z0 если эта функция определена в точке z0 и если

.

Справедлива следующая теорема:

функция f(z) = u(x, y)+iv(x, y) непрерывна в точке z0 = x0+iy0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке M0(x0,y0). Однако как мы увидим в дальнейшем, дифференцируемость функций u(x, y) и v(x, y) не достаточна для дифференцируемости функции f(z).

Здесь мы рассмотрели понятие однозначной функции комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного рассматриваются также многозначные функции, когда каждому значению комплексного переменного z ставится в соответствие не одно, а несколько и даже бесконечно много значений функции f(z). Например, функция каждому z ¹ 0 ставит в соответствие n различных значений переменной w, функция Argz при z ¹ 0 принимает бесконечно много значений.

1.4. Ряды с комплексными членами

В курсе математического анализа изучаются ряды, членами которых являются постоянные действительные числа или функции действительного переменного x. Точно так же можно рассматривать ряды с комплексными членами. Выражение вида

z1 + z2 + z3 + . . . + zn + . . ., (1.13)

где z = x+iy – постоянные комплексные числа, называется числовым рядом с комплексными членами. Ряд (1.13) называется сходящимся, если существует конечный предел , где sn = z1 + z2 +…+ zn– n-я частичная сумма ряда (1.13).

Наряду с рядом (1.13) рассмотрим ряды

x1 + x2 +…+ xn +…, (1.14)

y1 + y2 +…+ yn +…, (1.15)

½z1½ + ½z2½ +…+ ½zn½ +…. (1.16)

Справедливы следующие теоремы:

1) Ряд (1.13) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (1.14) и (1.15).

2) Если сходится ряд (1.16), составленный из модулей членов ряда (1.13), то ряд (1.13) также сходится. В этом случае говорят, что ряд (1.13) сходится абсолютно. Если же ряд (1.13) сходится, а ряд (1.16) расходится, то ряд (1.13) называется условно сходящимся.

Из этих теорем следует, что для определения характера сходимости рядов с комплексными членами можно применять теоремы о сходимости рядов с действительными членами.

Рассмотрим теперь степенной ряд в комплексной области

c0 + c1z + c2z2 +…+ cn zn +…, (1.17)

где c0, c1, c2,…, cn,…– постоянные комплексные числа, а

z = x+iy – комплексная переменная. Для рядов (1.17), как и для степенных рядов в действительной области, справедлива теорема.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1.17) сходится в точке z0 ¹ 0, то этот ряд сходится абсолютно в любой точке z, для которой ½z½ < ½z0½. Если же ряд (1.17) расходится в точке z1, то этот ряд расходится в любой точке z, для которой

½z½ > ½z1½.

Из теоремы Абеля также следует, что для степенного ряда (1.17) в комплексной области существует число R такое, что ряд (1.17) сходится в точках z, для которых ½z½<R, и расходится в точках, для которых ½z½>R. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (4.5), а круг ½z½<R — кругом сходимости этого ряда. В частности может оказаться, что R = ¥, или R = 0. В первом случае степенной ряд сходится во всех точках комплексной плоскости, а во втором — в единственной точке z=0.