Основные свойства интегралов по кп

Интеграл всегда будет криволинейным.

Разобьем контур на n частей и составим сумму

Устремим максимум модуля к нулю. Если при этом интегральная сумма имеет определенный предел, не зависит от способа разбиения и от выбора , то этот придел называется интегралом от функции по комплексному переменному вдоль контура С.

Основные свойства интегралов по КП:

1)  При изменении направления контура интеграл меняет знак

2)  Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла

3)  Если контур представлен в виде конечного числа, то интеграл равен сумме интегралов по этим контуром

4)  Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

5)  Интеграл по контуру С

6)  Интеграл по контуру С от — длинна контура С.

7)  где

2.  Теорема Коши.

Если функция аналитична в области D, то интеграл от этой функции по любому контуру, замкнутому и лежащему в D, равен 0.

Интегральная теорема Коши:

Если функция — аналитическая в области D, ограниченной замкнутым контуром С, значение ее в любой точке внутри D равно

3.  Физический смысл теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Теорема Коши ~ тому, что внутри контура нет электрических зарядов.

Для интегральной формы эквивалентом служит электростатическая теорема Гаусса.

Теорема Морера: Если непрерывна и однозначна внутри некоторого замкнутого контура С и то она аналитична.

4.  Следствия теоремы Коши и интегральной формулы Коши (теорема о среднем, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры).

1)  Если аналитическая функция внутри области, ограниченной контуром С, то взятый вдоль любого контура внутри С, зависит только от и , и не зависит от пути интегрирования.

2)  Теорема о среднем: значения аналитической функции в центре круга, целиком лежащего в области аналитичности, равно среднему арифметическому значению на краях круга.

3)  Теорема Лиувилля:

если функция аналитична на всей плоскости и равномерно аналитична, то

  V.  Ряды Тейлора и Лорана

1.  Теоремы о разложимости в ряды Тейлора и Лорана.

2.  Сходимость рядов Тейлора и Лорана.

  VI.  Классификация особых точек

1.  Изолированные особые точки.

— если можно указать окрестность точки, то она изолированная.

2.  Устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка.

·  Устранимая, если в ряду Лорана в окрестности этой точки нет отрицательных степеней.

Ряд Тейлора сходится к другому значению в точке, чем значение функции

практического значения устранимая особая точка не имеет.

·  Полюс, если конечное число отрицательных степеней.

где — аналитическая в данной окрестности

Теорема: Если имеет полюс k-го порядка, то имеет нуль k-го порядка.

·  Существенно особая, если бесконечное число отрицательных степеней.

Предел не существует.

3.  Поведение аналитической функции в окрестностях изолированных особых точек.

4.  Особенности на бесконечности.

С помощью Римановой Сферы показывается, что

5.  Классификация однозначных аналитических функций.

·  Целая – не имеет особых точек ()

·  Мероморфная – имеет конечное количество полюсов ()

VII.  Аналитическое продолжение

1.  Основные понятия.

Принцип запечатывания плоскости областями…

2.  Теорема единственности аналитического продолжения.

Если функция аналитична в некоторой области и равна нулю вдоль какой-нибудь дуги лежащей в этой области, то она равна нулю во всей области.

3.  Приемы аналитического продолжения.

VIII.  Теория вычетов

1.  Определение вычета.

Вычетом аналитической функции относительно изолированной особой точки называется выражение где выбирается так, чтобы не имела особых точек, кроме a, которая находится внутри контура (не на границе).

Вычисление:

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности a:

Пусть a – полюс первого порядка:

Пусть a – полюс N порядка: