Множественная корреляция

а1 — коэффициент регрессии, показывает, на сколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на единицу.

а1(уïх)=sу/sх*rху

уïх — взаимосвязь х и у

sу — среднее квадратическое отклонение результативного признака

sх — среднее квадратическое отклонение факторного признака

rху — линейный коэффициент парной корреляции

Для экономической интерпретации пользуются коэффициентом эластичности, который показывает, на сколько % в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

В случае линейной зависимости коэффициент эластичности равен:

Э=а1*х/у

При параболической зависимости коэффициент эластичности равен:

Э=(а1+а2х)*х/у

Одним из примеров обоснования необходимости поиска других кривых для наилучшей аппроксимации зависимости служит остаточная дисперсия:

s2ост=S(у-ух)2/n

Если остаточная дисперсия велика, необходимо искать другую аппроксимацию, другую кривую.

7.3.3 Множественная корреляция

Под множественной корреляцией понимется исследование статистической зависимости результативного признака от нескольких факторных признаков. Основная задача при этом состоит в вычислении значения переменной, соответствующей определенным значениям двух и большего числа факторов.

Особенности многофакторного анализа:

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ должен проводиться на большом числе наблюдений, т. к. надежность корреляционных формул зависит непосредственно от количества данных. используемых при расчетах. Исходная информация должна включаться в корреляционный расчет на основе качественного анализа.

Число факторов, включаемых в уравнение связи, должно быть ограниченным, т. к. введение большого числа факторов делает решение задачи более сложным. В уравнение нельзя вводить факторы, находящиеся в функциональной и близкой к ней связи.

Выбор той или иной формы связи при множественной корреляции диктуется рядом соображений:

выбранная функция должна отражать сущность закономерности

уравнение связи должно иметь по возможности более простой вид.

В статистической совокупности наибольшее распространение получили линейная и приведенные к линейной формы связи.

В общем виде уравнение линейной связи имеет вид:

ух1, х2, х3,…хn=а0+а1х1+а2х2+…+аnxn

Рассмотрим частные случаи множественной линейной корреляции:

а)Двухфакторный комплекс: результат и два фактора.

уxz=a0+a1*x+a2*z

æna0+a1Sx+a2Sz=Sу,

êa0Sx+a1Sx2+a2Sxz=Sxу

èa0Sz+a1Sxz+a2Sz2=Sуz

б) Трехфакторный комплекс.

уxzv=a0+a1*x+a2*z+a3*v

æna0+a1Sx+a2Sz+a3Sv=Sу,

êa0Sx+a1Sx2+a2Sxz+a3Sxv=Sxу

êa0Sz+a1Sxz+a2Sz2+a3Szv=Sуz

èa0Sv+a1Sxv+a2Szv+a3Sv2=Sуv

Коэффициент линейного уравнения множественной регрессии показывает, на сколько единиц изменится функция с изменением аргумента на одну единицу, при закрепленном положении других аргументов на определенном уровне, обычно среднем.

Для интерпретации коэффициента аi уравнения множественной регрессии используется частный коэффициент эластичности, который имеет вид:

Э=аi*xi/y

xi — среднее значение i-того факторного признака

аi — коэффициент регрессии при i-том факторном признаке

у — среднее значение результативного признака

Частный коэффициент эластичности показывает на сколько % в среднем изменится функция при изменении аргумента (регрессора) на 1% при фиксированных значениях других аргументов.

7.4. Показатели тесноты связи

Важнейшей задачей корреляционно-регрессионного анализа является измерение тесноты связи между явлениями и признаками. При этом различают две группы показателей: параметрические и непараметрические.

7.4.1 Параметрические показатели тесноты связи

Линейный коэффициент парной корреляции

Наиболее точно характеризует тесноту связи при линейной зависимости между факторным и результативным признаками.

rxy=(xy—x*y)/sxsy

sx — среднее квадратическое отклонение факторного признака

sy — среднее квадратическое отклонение результативного признака

xy — среднее из произведений значений х и у

Если есть ряд распределения, то ху=Sху*f/Sf

По абсолютной величине линейный коэффициент парной корреляции не превышает 1. При rxy=0, фактический и результативный признак независимы. Если линейный коэффициент rxy имеет знак "+", то связь между признаками прямая, функциональная.

2. Эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирическое — рассчитанное по фактическим данным.

h=Öd2/s2=Ö(s2—s2х)/s2=Ö1-s2х/s2 , где

s2х — средняя из групповых дисперсий, остаточная дисперсия, дисперсия за счет всех прочих (неучтенных) факторов, кроме х.

3. Теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции)

Представляет собой корреляционное отношение. вычисленное на основании результатов выравнивания ух по некоторой линии (как прямой, так и кривой).

R — индекс корреляции, корреляционное отношение.

R=Ö(s2—s2х)/s2=Ö1-s2х/s2=Ö1-S(y—yx)2/S(y—y)2, где

s2х=S(y—yx)2/n, s2=S(y—y)2/n

4. Множественный коэффициент корреляции (совокупный)

Используется для измерения тесноты связи между результативным признаком и двумя или несколькими факторными признаками при их линейной зависимости. при действии двух факторов на результативный признак множественный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Ryxz=Ör2yx+r2yz-2rxz*ryz*ryx

rxz=(xz—x*z)/sxsz

5. Для определения тесноты связи между n-признаками используется следующая формула:

Ryïx1,x2,…,xn=Öd2/s2у=Ö1-s2ост/s2у, где

s2у — общая дисперсия результативного признака

s2ост — дисперсия неучтенных факторов, остаточная дисперсия

d2 — межгрупповая дисперсия, рассчитанная по уравнению множественной регрессии

6. Частные коэффициенты корреляции

Оценивают степень связи между двумя признаками при фиксированном значении других признаков. Коэффициент парной корреляции не равен соответствующему частному коэффициенту корреляции, т. к. первый измеряет тесноту связи между признаками, не учитывая их взаимодействие с другими факторами, а второй измеряет тесноту связи с учетом взаимодейтсвия с другими факторами.

В двухфакторном комплексе частный коэффициент корреляции измеряется по формуле:

ryx(z)=(ryx—ryzrxz)/Ö(1-r2yz)(1-r2xz)

ryx(z) — коэф. ху кроме z, z закрепляется на среднем уровне.

rxz(y)=(rxz—ryxryz)/Ö(1-r2yx)(1-r2yz)

ryz(x)=(ryz—ryxrxz)/Ö(1-r2yx)(1-r2xz)

Абсолютные величины частных коэффициентов корреляции не могут быть больше коэф. множественной корреляции.