Лемма жордана

Доказательство. Все лежащие в верхней полуплоскости особые точки можно заключить внутрь расположенного в верхней полуплоскости полукруга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат. По основной теореме о вычетах получаем

ò _L f(z) dz+ò _ — R ^ +R f(x) dx=2πi∑_ j=1 ^n Res[f(z),a_j], (2)

где L — верхняя полуокружность радиуса R, проходимая против часовой стрелки. Так как f(z)=g(z)/z^2 , где g(z) — ограничена на бесконечности, например, числом M, то

при R→ +∞ . Тогда, переходя в соотношении (2) к пределу R→ +∞ , получаем требуемое равенство.

Пример. Вычислим интеграл:

Лемма К. Жордана. Пусть на некоторой последовательности дуг окружностей ( – фиксировано) функция стремится к нулю равномерно относительно Тогда для любого положительного числа λ

Доказательство. Обозначим . По условию леммы при . Величина также стремится к 0, причем . Пусть сначала a>0.

E На рис. . На дугах АВ и CD имеем

C B , следовательно

D — a A . На основании неравенства

Рис. Лемма Жордана , справедливого при , мы заключаем, что на дуге BE имеет место неравенство

Следовательно,

Если для дуги EC отсчитывать полярный угол от отрицательной полуоси, то оценка интеграла по этой дуге будет такая же как и для дуги BE. Случай разобран. Случай еще проще – не надо оценивать интегралы по дугам AB и CD. □

Замечание. Последовательность дуг можно заменить на семейство дуг радиуса .

Переформулировка леммы Жордана. Заменим . Пусть на некотором семействе дуг окружностей радиуса и функция стремится к нулю равномерно относительно Тогда для любого положительного числа t

Следствие. Пусть , причем m>0, и F(z)→ 0, когда z→ ∞ по любому закону, оставаясь, однако в области Im z≥ 0. Предположим, кроме того, что f(z) аналитична, а в верхней полуплоскости имеет не более конечного числа особых точек . Тогда

Пример Вычислим интеграл:

ò _ -∞^ +∞ xcos x dx / x^2-2x+10 =ò_ -∞^ +∞ ze^ iz dz / z^2-2z+10 =
= Re 2πi⋅ Res[ze^ iz/ z^2-2z+10 ,1+3i] =Re 2πi(1+3i)e^(-3+i)/2(1+3i)-2 = 3πe^(-3)(cos1-3sin1).

Интеграл Дирихле. Вычислим следующий интеграл: . Он равен интегралу . Имеем:

Отсюда следует равенство:

.

23  Литература

[БН] Бугров Я. С., Никольский С. М. Диффeренциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — С.367-430.

[ЛЭ] Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. — СПб, 2002. — 298с.

[ЛШ] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Гостехиздат, 1951 — 496с.