Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Геометрический и физический смысл производной

Геометрический и физический смысл производной

13. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Последоват-ть – упорядоченный набор чисел.

Послед-ть – функция, аргумент которой пробегает множ-во натуральных чисел. =х(n)

Основной харак-й последовательности является наличие или отсутствие у нее предела.

Усли при любом ε все элементы, начиная с некоторого, попадают в окрестности точки а, то в этом случае а – предел последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью.

= + q + + …

=

14. Понятие дифференциала функции. Геом-й смысл. Основные теоремы.

Если функция f(x) имеет производную в точке , то следовательно равенство :

F(x)=f()+f’()(x — ) + 0(x —).

Это равенство позволяет построить приближенную формулу:

F(x)=f() + f’()(x — )

df= f’()(x — ) — дифференциал.

df() — дифференциал берущийся в точке

x — =dx – дифференциал аргумента

Таким образом дифференциал – это линейная часть приращения функции.

29.Производная функции. ЕЕ геометрический и физический смысл.

Производной функции в точке http://itm-x18.narod.ru/math/3all/3all_html_74174f8.gifназывается предел отношения приращения функции http://itm-x18.narod.ru/math/3all/3all_html_m582cc34.gifк соответствующему приращению аргумента http://itm-x18.narod.ru/math/3all/3all_html_5d7b5b70.gif, при условие, что http://itm-x18.narod.ru/math/3all/3all_html_14100a9a.gif.( )

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке.

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

http://shkola.lv/goods/ymk/algebra/work8/theory/17/7.gif

31. Необходимые и достаточные условия выпуклости и перегиба графика функции.

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной к нему в любой точке интервала Х.

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной к нему в любой точке интервала Х. 

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f » ( x ) > 0 для любого x http://www.bymath.net/studyguide/belong.gif( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f » ( x ) < 0 для любого x http://www.bymath.net/studyguide/belong.gif( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .  

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x0  существует вторая производная  f » ( x0 ), то  f » ( x0 ) = 0.

27. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image290.gif

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image291.gif и http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image292.gif. Так как http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image293.gif, то по формуле для косинуса угла между векторами получимhttp://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image294.gif.Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image295.gif и http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image292.gif:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т. е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image296.gif параллелен http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image297.gif.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image298.gif