Финансовая эквивалентность обязательств

Пример 5.2. На сумму 1,5 млн. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 28% годовых. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2,0 и 1,8%. Определить индекс цен и наращенную сумму с учетом инфляции.

Решение.

Ip = (1+ 0,025)× (1+ 0,02)× (1+ 0,018) = 1,064 (6,4%);

C == 1,508 млн. руб.

Если наращение производится по сложным процентам, то наращенная сумма с учетом инфляционного обесценения находится как

C =. (5.4)

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Поскольку ставка доходности (r) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции (h) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.

При начислении процентов m раз в году, формула (5.4.) примет вид:

C =. (5.5)

В выше рассмотренных формулах P умножается на множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции. Влияние сложной ставки r и темпа инфляции h на значение этого множителя объясняется следующим:

– если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (h = r), то реального роста денежных сумм не будет, т. к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;

– если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (h > r), то происходит «проедание» капитала – его реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;

– если уровень инфляции ниже процентной ставки (h < r), то только в этой ситуации происходит реальный рост денежной суммы, реальное накопление.

При начислении простых процентов ставка, компенсирующая влияние инфляции (наращение равно потерям из-за инфляции, не будет ни убытка, ни доходов) определяется из равенства C = P и соответствует величине

.

Ставку, превышающую критическое значение i¢ (при начислении сложных процентов i¢= h), называют положительной (барьерной) ставкой процента.

Методы учета инфляции в финансовых расчетах. Владельцы денег не могут смириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.

Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, т. е. увеличение ставки на величину инфляционной премии. Итоговую величину называют брутто-ставкой, т. е. ставки с поправкой на инфляцию.

Выразим величину брутто-ставки rb через реальный показатель доходности операции r¢¢. Для простых процентов эти величины связаны соотношением:

.

Отсюда находим:

rb = , . (5.6)

Для сложных процентов брутто-ставка и доходность определяются соотношением:

. (5.7)

Из (5.7) следует, что

, . (5.8)

При постоянном темпе инфляции при подстановке (5.1) в (5.7) находим:

(1+ rb)n = [(1+ r¢¢)×(1+ h)]n.

Отсюда получим брутто-ставку и доходность:

rb = r¢¢ + h + hr¢¢, r¢¢ = . (5.9)

Пример 5.3. Найти реальную простую процентную ставку (доходность) при брутто-ставках 60% и 30% годовых и месячных темпах инфляции h1 = 5%, h2 = 2%, h3 = 4%.

Решение. Найдем индекс цен за три месяца:

Ip = (1+ 0,05)× (1+ 0,02)× (1+ 0,04) = 1,11384 (11,38%).

По формуле (5.6) при n = 3/12 = 0,25 определяем для двух случаев:

или 12,99%.

или –13,95%.

Во втором случае произошло «проедание» капитала на 13,95%.

ГЛАВА 6. ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

6.1. Уравнение эквивалентности

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потомком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведёнными к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если дата относится к будущему).

Суть принципа – две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени считаются эквивалентными, если их современные или наращенные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один и тот же момент, одинаковы. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты – если сроки больше года.

Пример 6.1. Имеются два обязательства с простой ставкой процента 20%. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго – 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их эквивалентными?

Решение.

1) тыс. руб.; 2) тыс. руб.

При заданной процентной ставке данные платежи не являются эквивалентными и не могут заменять друг друга.

Барьерная (критическая) ставка. Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора её размера. Пусть сравниваются два платежа S1 и S2 со сроками n1 и n2, измеряемые от одного момента времени, причем S1 < S2 и n1 < n2. Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки (рис. 6.1).

Рис. 6.1.

С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i0 наблюдается равенство P1 = P2;

при i < i0 P1 < P2;

при i > i0 P1 > P2.

Таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного i0, которая называется критической или барьерной ставкой.

Если дисконтирование производится по простой ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

;

находим . (6.1)

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то барьерную ставку найдем из равенства:

. (6.2)

Пример 6.2. Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачивается через 5 лет. Определить барьерную ставку.

Решение. Критический уровень сложной процентной ставки, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (6.2):

или 10,06%.

6.2. Объединение потока платежей в один

Объединение потока платежей в один называется также консолидацией платежей. При этом определяют либо сумму консолидированного платежа при известном сроке, либо срок при известной сумме.

Дано:

S1, S2, …, Sm – платежи

Заменить одним в сумме S0 и сроком n0.

n1, n2,…, nm – сроки

Возможны две постановки задачи:

1. Известен срок n0. Найти сумму консолидированного платежа S0.

2. Известна сумма S0, найти срок консолидированного платежа n0.

Определение суммы консолидированного платежа S0.

а) при применении простых процентных ставок:

, (6.3)

где Sj – размеры объединяемых платежей со сроком nj < n0,

Sk – размеры объединяемых платежей со сроком nk > n0,

tj = n0 — nj, tk = nk – n0.

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n0 > nm), то формула (6.3) приобретает вид:

(6.4)

Пример 6.3. Три платежа 5 тыс. руб. со сроком 130дней, 3 тыс. руб. со сроком 165 дней и 8 тыс. руб. со сроком 320 дней заменяются одним со сроком 250 дней. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа при базе K = 365.

Решение.

При определении суммы консолидированного платежа используется формула (6.3):

руб.

б) при применении сложных процентных ставок:

. (6.5)

Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей (n0 > nm), то формула (6.5) приобретает вид:

.

Пример 6.4. Платежи в 1 и 2 млн. руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Определить сумму консолидированного платежа.

Решение.

2921,9 тыс. руб.

Определение срока консолидированного платежа n0.

а) при применении простых процентных ставок n0 определяется из соотношения:

.

Пусть , тогда:

. (6.6)

Пример 6.5. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80, 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 50 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 10% годовых, K=365.

Решение.

б) при применении сложных процентных ставок n0 определяется из соотношения:

.

Пусть , тогда:

. (6.7)

Пример 6.6. Платежи 1 и 2 млн. со сроками 2 и 3 года объединяются в один платеж суммой 3 млн. руб. Определить срок консолидированного платежа, если процентная ставка 20% годовых.

Решение.

6.3. Замена одного потока платежей другим

Рассмотрим общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. В таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности.

При начислении простых процентов уравнение эквивалентности имеет вид:

= (6.8)

В данной формуле n0 называется базовой датой, на которую осуществляется расчет всех платежей. Выбор базовой даты влияет на искомую величину выплаты при использовании простых процентов и не влияет при использовании сложных процентов.

В левой части уравнения (6.8) в первую сумму входят все наращенные заменяемые платежи со сроками меньше базовой даты, а во вторую сумму входят все дисконтированные заменяемые платежи со сроками больше срока базовой даты. Эти же соображения относятся к замещающим платежам, представленным в правой части уравнения (6.8). Если базовая дата равна нулю, то в уравнении (6.8) остаются только дисконтированные составляющие:

(6.9)

Из приведенных уравнений (6.8) и (6.9) определяют как недостающий платеж, так и недостающую дату.

Пример 6.7. Три платежа 8 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб. с выплатами 1 апреля, 15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля выплачивается 20 тыс. руб., а остаток – 1 декабря этого же года. Стороны договорились об использовании простой ставки 25% (K = 360/360). Определить остаток долга при базовых датах 1 апреля, 1 июля и 1 декабря.

Решение.

1) При базовой дате 1 апреля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.9):

S0 = 2688,07 руб.

2) При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (6.8):

S0 = 2698,77 руб.

3) При базовой дате 1 декабря получим:

S0 = 2645,83 руб.

Как следует из полученных результатов, остаток долга зависит от базовой даты.

При начислении сложных процентов при приведении к базовой дате n0 уравнение эквивалентности имеет вид:

(6.10)

Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают начало процесса, т. е. точку n0 = 0. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид:

(6.11)

Пример 6.8. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2, 3 и 4 года соответственно заменяются двумя, причем через 1 год выплачивается 2 тыс. руб., а остаток – через 5 лет. Пересчет по сложной ставке 25% годовых. Определить остаток долга.

Решение.

,

S0 = 9023,44 руб.

Рассмотрим пример на определение срока заменяющих платежей.

Пример 6.9. Воспользуемся данными примера 6.8. Платежи заменяются двумя с выплатами 2 тыс. руб. через 1 год и 8,5 тыс. руб. Определить срок выплаты суммы 8,5 тыс. руб.

Решение.

, отсюда находим:

1,25n = 2,874729,

n = года или 4 года и 267 дней.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Деньги, кредит, банки : [учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям] / Фин. акад. при Правительстве Рос. Федерации; под ред. О. И. Лаврушина.— 8-е изд., перераб., и доп. — М. : КНОРУС, 2009 .— 558, [1] с.

2.  Капитоненко В. В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 256 с.

3.  Кочович Е. Финансовая математика с задачами и решениями: учебно-методическое пособие / Е. Кочович. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 384 с.

4.  Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М: Издательство «Экзамен», 2005. – 128 с.

5.  Печенежская И. А. Финансовая математика: сборник задач / И. А. Печенежская. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 188,[1] c.

6.  Самаров К. Л. Финансовая математика: практический курс: учебное пособие / К. Л. Самаров. – М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2005. – 80 с.

7.  Симчера В. М. Введение в финансовые и актуарные вычисления. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352 с.

8.  Четыркин Е. М. Финансовая математика: учебник. – 7-е изд., испр. – М.: Дело, 2007. – 400 с.

9.  www. actuaries. org. uk

ПРИЛОЖЕНИЕ

Основные формулы для решения задач

Составители: ГАНИЕВА Алия Энгелевна

КРИОНИ Ольга Валерьевна

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Учебно-методическое пособие

для студентов специальности «Финансы и кредит»

всех форм обучения

Подписано в печать 2009 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman.

Усл. печ. л. Усл. кр.-отт. Уч.- изд. л.

Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел

Уфимского государственного авиационного технического университета

450000, РБ, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12

Бирская городская типография

г. Бирск

[1] За базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования.

2 Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate). В России применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИБОР.

1 Когда K берется приближенно, т. е. 360 из расчета, что в каждом месяце по 30 дней, то по такой базе начисления процентов любой процент называется обыкновенным.

2 Если K берется фактической продолжительностью года (365 или 366 дней), то проценты по такой базе называются точными.

* При этом полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы.