Элементарные функции комплексной переменной

Рассмотрим систему проводников при .

, если нет заряда. Введем векторный потенциал направленный по нормали к выбранной плоскости и такой, что

тогда усл. К-Р

Тогда — аналитическая функция, имеет производную Вещественная часть аналитической функции — скалярный потенциал некоторого пол, а её производная описывает направление этого поля.

Пример 2:

  III.  Элементарные функции комплексной переменной

Распространение свойств этих функций действительной переменной на комплексную плоскость

1.  Степенная функция.

Рассмотри степенную функцию . Введем координату . А на плоскости W рассмотри аналогичную систему координат, но с другими обозначениями .

Тогда перепишем в виде (растягивает в раз) и (поворачивает в раз).

Аргумент может быть большим и при повороте уйти за .

2.  Многолистные и многозначные функции.

Функции, у которых разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, называются многолистными. Обратная функция при этом многозначная.

Чтобы иметь однолистное отображение, необходимо потребовать отсутствие точек, в которых выполняется равенство . Тогда мы имеем право, находиться только в секторе , и этот сектор отобразится во всю плоскость.

Рассмотрим обратную функцию

3.  Точки ветвления.

Точка ветвления – точка, при переходе которой, функция не возвращается к прежнему значению.

Точки ветвления имеют многозначные функции.

Для функции точкой ветвления является . Для — 1 и 2.

Чтобы вернуться в первую вершину нужно совершить n оборотов.

Порядок точки ветвления — минимальное число обходов, после которых функция возвращается в исходное положение.

Можно выделить ветви функции.

4.  Понятие римановой поверхности.

Каждую ветвь можем поместить на отдельную плоскость и особым образом сшить эти плоскости, так что становится возможным переход с одной плоскости на другую.

5.  Показательная функция и логарифм.

В области вещественного переменного монотонна, а в области КП – периодическая с периодом вдоль комплексной оси. . Изучать её нужно в полосе , а дальше её свойства будут повторятся. Полоса шириной отобразится во всю плоскость.

Обратная функция – логарифм , бесконечнозначная функция.

Главное значение логарифма – та ветвь, в которой аргумент

6.  Тригонометрические и гиперболические функции.

Такие функции выражаются через показательные.

формула Эйлера, из которой получаем откуда

Если получим гиперболические функции

  IV.  Интеграл по комплексной переменной

1.  Определение, основные свойства интеграла по комплексной переменной.