Дифференциальное уравнение первого порядка

1. Дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение, связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую производную от искомой функции.

Если уравнение F(x, y, y´) = 0 определяет y´ как неявную функцию от x и y, то его можно представить в виде, разрешённом относительно y´: y´ = f(x, y).

Решением дифференциального уравнения называется функция y = φ(x), которая при подстановке в исходное уравнение обратит его в верное тождество. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка представляется формулой, содержащей одно произвольное постоянное. Чтобы найти частное решение этого уравнения, требуется задать одно начальное условие в виде y(x0) = y0 .

4. Задачей Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка является задача отыскания частного решения этого уравнения с начальным условием y(x0) = y0. Если дифференциальное уравнение задано формулой y´ = f(x) и F(x) – первообразная функции f(x), то искомое уравнение будет представлено в виде y – y0 = F(x) – F(x0) .

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши: если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D ∋ (x0, y0), то на некотором интервале (y0-h, y0+h) существует единственное решение y = y(x) уравнения y‘ = f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

3. Пусть дано разрешённое уравнение 1-ого порядка y‘ = f(x, y). Если представить значения функции y и её аргумента x как декартовы координаты, то каждой точке плоскости можно сопоставить значение y‘, которое равно тангенсу угла наклона касательной к интегральной кривой – решению (частному) данного уравнения. Таким образом, в каждой точке плоскости задаётся направление искомой(ых) кривой(ых) – плоскость теперь представляет поле направлений.

Уравнения вида y’ = f(x, y) можно приближённо решать с помощью метода изоклин. Для этого выбирается значение y’ и подставляется в исходное уравнение, которое становится алгебраическим и по нему на плоскости можно построить линию. Поскольку значение y’ зафиксировано, то и наклон интегральной кривой во всех её точках будет одинаков и равен arctg(y’) . Такие линии называются изоклинами. Теперь, чтобы начертить интегральную кривую достаточно взять некоторую точку на плоскости и провести через неё кривую так, чтобы она в каждой точке имела направление поля.

4. Простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка имеет вид y´ = f(x), или dy = f(x) dx . Если в последнем выражении проинтегрировать правую и левую часть, то мы получим решение исходного уравнения: y = + C , где C – произвольное постоянное.

Уравнения вида , в которых правая часть – это произведение функций только от x и только от y, называются уравнениями с разделяющимися переменными. В них можно функцию от x и дифференциал x перенести в одну часть уравнения, а функцию от y и дифференциал y – в другую: , и проинтегрировать обе части. Отсюда следует мнемоническое правило решения таких уравнений: «всё, что с x – в одну сторону, всё, что с y – в другую». Так как дифференциалы слева и справа равны, то интегралы будут отличаться только на произвольное постоянное: .

5. Уравнение 1-ого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если имеет место тождество f(tx, ty) ≡ f(x, y) . Тогда, взяв получим функцию от одного аргумента . Сделав замену , получим y = z x , y’ = z + z‘ x , z + z‘ x = g(z) . Последнее является уравнением с разделяющимися переменными. Решив его и сделав обратную замену, получим интеграл исходного уравнения.

6. Линейным уравнением 1-ого порядка называется уравнение вида a1(x) y’ + a0(x) y = b(x) или y’ + a(x) y = b(x) . Если b(x) ≡ 0 , уравнение называется линейным однородным, если нет – линейным неоднородным. Линейное однородное уравнение решается разделением переменных и его общее решение представляется в виде .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение сначала решают соответствующее ему однородное, а потом применяют метод вариации постоянного. Постоянное C в решении однородного уравнения принимают за некую функцию от x, подставляя это решение в исходное неоднородное уравнение. Получается уравнение вида . Решаем его относительно C и подставляем в решение однородного уравнения.

8. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида y’ + a(x) y = b(x) yn . при n = 0 оно является линейным неоднородным, а при n = 1 путём переноса b(x) y в левую часть превращается в линейное однородное.

В общем случае, когда n ≠ 0 и n ≠ 1 , уравнение решается следующим образом: обе части уравнения делятся на yn и делается замена z = y1 – n . y – n y‘ + a(x) y1 – n = b(x) , . Полученное линейное неоднородное уравнение относительно z(x) решается, и делается обратная замена. При делении на yn мы не учитывали случай, когда y = 0 – этот случай входит во множество решений исходного уравнения.

8. Если уравнение записано в дифференциальной форме и имеет вид M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 , и при этом левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) ( M = , N = ) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Его можно переписать в виде dU = 0 , и, интегрируя, U(x, y) = C , или для исходного уравнения + = C .

Однако, чтобы судить о том, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, требуется проверить необходимое условие. Оно получается, если двумя способами получить . Если M = , то = и если N = , то = , таким образом, должно выполняться тождество = .

9. Если уравнение F(x, y, y´) = 0 не разрешается относительно производной, то его можно решить методом введения параметра. Если уравнение представлено в виде y = f(x, y’), то введём параметр p = y’ . Дифференциал y равен dy = и в тоже время он равен dy = p dx . Приравнивая эти выражения, решаем полученное уравнение для x. Заменяя в исходном уравнении y’ на p и подставляя решение уравнения x(p), получаем параметрическое решение: x = φ(p) ; y = f(φ(p), p) .

В данном виде уравнений могут присутствовать особые решения. Решение y = φ(x) уравнения F(x, y, y´) = 0 называется особым, если через каждую его точку… Если функция.. и производные… поэтому, чтобы отыскать… наз. уравнением дискриминантной кривой.