Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Билеты по вышке с ответами — скалярное произведение векторов

Билеты по вышке с ответами — скалярное произведение векторов

1) два вектора равны если равны их координаты а=X1i+Y1j+Z1k; b=X2i+Y2j+Z2k; X1=X2; Y1=Y2; Z1=Z2

2)При сложении векторов в зад. коорд. форме их коорд. складываются а=X1i+Y1j+Z1k; b=X2i+Y2j+Z2k; (a+b)=(X1+X2)i+(Y1+Y2)j+(Z1+Z2)k

3)При вычитании векторов их коорд. Вычитаются a=X1i+Y1j+Z1k; b=X2i+Y2j+Z2k

(a-b)= (X1-X2)i+(Y1-Y2)j+(Z1-Z2)k

4)При умножении вектора на скаляр все координаты этого вектора умножаются на данный скаляр a=X1i+Y1j+Z1k (λ—скаляр) λА= λXi+ λYj+ λZk

5)Условие колинеарности 2-х векторов заданных в коорд. форме a=X1i+Y1j+Z1k; b=X2i+Y2j+Z2k Если a коллинеарен b то всегда можно найти такой постоянный множитель λ что λb=a. λb= λX2i+ λY2j+ λZ2k a и λb равны, а значит их координаты т. е. X1= λX2; Y1= λY2; Z1= λZ2 λ=X1/X2; λ=Y1/Y2; λ=Z1/Z2 — X1/X2=Y1/Y2=Z1/Z2(*) Если коорд. вектора a и b удовлетворяют соотношение (*) то λb=a т. е. a и b коллинеарны. Соотношение (*) это условие колинеарности векторов т. о. векторы коллинеарны тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны.

22 Вопрос Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение 2-х векторов это число равное произведению их модулей (длин) умноженному на cos угла между векторами т. е. (a, b)= |a|*|b|cosφ. Скалярное произведение a и b будет равно 0 в 2-х случаях:

1)  Если хотя бы 1 из векторов a или b является нулевым вектором.

2)  Если векторы перпендикулярны

(a, b)=0

Свойства скалярного произведения:

1) скал произв подчиняется переместит. закону (а, b)=(b, a)

2) подчин сочетательному закоу относительно скалярного множителя (λa, b)= λ(a, b) (для любых λ,a, b)

3) подчин распределительному закону a(b+c)=ab+ac (для любых a, b,c)

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля (a, a)= |a|*|a|cos0=|a|2 т. е. (a2) = |a|2

5) Скалярное произведение векторов, заданных в коорд. форме a=X1i+Y1j+Z1k; b=X2i+Y2j+Z2k Правые части этих векторов можно перемножить по правилу умножения многочлена на множитель т. к. скал произв подчин распределит закону (a,b)=X1X2+Y1Y2+Z1Z2 т. о. скалярное произвед 2-х векторов заданных в коорд форме равно сумме произведений одноименных координат этих векторов

Вопрос 23. Векторное произведение неколлинеарных векторов, его свойства.

Это вектор С длинна которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, который перпендикулярен плоскости этого параллелограмма и направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от a к b происходит против часовой стрелки. Если a и b коллинеарны, то их векторным произведением называется 0 вектор.

Если векторно умножить b на a, то получим вектор [b, a] равен по модулю вектору [a, b], но направленный в противоположную сторону т. е. [a, b]=-[b, a].

Если вектора a и b коллинеарны, то их векторное произведение равно 0 .

(a,b)=|a|*|b|*cos

Свойства

1. Для любых векторов a и b, векторное произведение не подчиняется переместительному закону.

2. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону относительно скалярного множителя.

для любых λ,a, b

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону

Вопрос 24. Линейно зависимые и линейно не зависимые вектора

Пусть дана система n-векторов a1,a2…an (n≥2)

Система векторов называется линейно зависимой если существуют такие числа k1,k2,…kn (n≥2) что имеет место равенства: k1a1+k2a2+…knan=¢ если хотя бы

одно из kj отлично от ¢ (≠0) и линейно не зависимой в противном случае.

Система векторов a1,a1,…an (n≥2) называется линейно зависимой если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов системы и линейно не зависимой в противном случае.

Пример.

a1 = (5,2,1) a2 = (-1,3,3) 4a1-a2-3a3+2a4=0

a3 = (9,7,5) a4 = (3,8,7) Проверить

a1=5i+2j+k; a2=-1i+3j+3k; a3=9i+7j+5k; a4=3i+8j+7k

4a1=20i+8j+4k; — a2=i-3j-3k; -3a3=-27i-21j-15k; 2a4=6i+16j+14k

4a1-a2-3a3+2a4=(20+1-27+6)i+(8-3-21+16)j+(4-3-15+14)k=0i+0j+0k=0

Вопрос 25. N-мерное векторное пространство, свойства n-мерных векторов.

Совокупность всевозможных упорядоченных систем из n-действительных чисел. Эта совокупность после введения в нее операций сложения и умножения над ними на число и носит название n-мерное векторное пространство.

N-мерное векторное пространство есть лишь алгебраическое образование, сохраняющие некоторые пространственные свойства в совокупности векторов 3-мерного пространства, выходящих из начала координат. Упорядоченная система n-чисел (a=(a1,a2…an)) называется n-мерным вектором, ai-компоненты вектора.

Свойства Пусть даны 2 n-мерных вектора: a=(a1,a2…an), b=(b1,b2…bn)

1. Векторы a и b будут считаться равными если совпадают их компоненты, стоящие на одинаковых местах ai=bi

2. Суммой векторов называют вектор, компоненты которого являются суммами соответствующих компонент слагаемых векторов

a+b =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn).

3. Роль ¢ играет нулевой вектор. ¢=(¢,¢,…,¢)

4. Разностью векторов будет вектор, компоненты которого есть разности соответствующих компонент, вектора уменьшаемого и вектора вычитаемого a-b=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).

5. Произведением вектора на число K называется вектор, компоненты которого равны произведению на К соответствующих компонент вектора a.

6. Совокупность всех n-мерных векторов с действующими компонентами рассматриваются с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется N-мерным векторным пространством.

Вопрос 26. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Функция F(x), определенная в промежутке (a, b), называется первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения x(a, b) выполняется равенство F’(x)=f(x).

Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех ее первообразных f(x)dx=F(x)+C где F’(x)=f(x), функция f(x) – подынтегральной функцией; выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Вопрос 27. Таблица основных интегралов.

Вопрос 28. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(f(x)dx)’=f(x)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d(f(x)dx)=f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная. F’(x)dx=F(x) + C

4. Неопределенный интеграл от дифференцирования равен дифференцированной функции плюс произвольная постоянная. dFx=F(x)+C

5. Постоянный множитель К можно выносить за знак неопределенного интеграла.

kf(x)dx=kf(x)dx

6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, если каждый из них существует.

[f1(x)+f2(x)]dx=f1(x)+ f2(x)dx

Распространяется на любое число слагаемых.

Вопрос 29. Основные принципы интегрирования. Непосредственное интегрирование.