Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Билеты по вышке с ответами — пересечение двух прямых

Билеты по вышке с ответами — пересечение двух прямых

Необходимо составить уравнение прямой, не вертикально проходящей через точки M1(x1,y1), M2 (x2,y2), k-? Уравнение этой прямой можно записать в виде:

y-y1=k(x-x1) (1), т. к. искомая прямая проходит через точку M2, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (1) y2-y1=k(x2-x1)=>k=y2-y1/x2-x1 (5) подставим k в уравнение (1) и получим искомое уравнение прямой:

y1-y2/y2-y1=x-x1/x2-x1 – искомое уравнение. Уравнение (5) позволяет определить K по двум точкам прямой. Если y2=y1, то уравнение искомой прямой = y=y1, если x2=x1, то уравнение искомой прямой =x=x1 и ║оси ОХ.

Вопрос 11. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Необходимо составить Ур-е прямой, если известно что на оси абсцисс она отсекает отрезок величиной а (а≠0), а на оси ординат в(в≠0). Данная прямая отсекает на ОХ отрезок ОМ, а на оси ОУ отрезок ОN, тогда точка М имеет коорд. М(а:0), а точка N(0:в). Воспользуемся уравнением прямой проходящей через две точки М и N

Подставим корд. этих двух точек в ур-е: y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1;

y-0/b-0=x-a/0-a;

y/b=x-a/-a=>x/a+y/b=1 уравнение прямой в отрезках на осях.

Вопрос 12. Пересечение двух прямых.

L1:A1x+B1y+C1=0; L2: A2x+B2y+C2=0

L1и L2 заданы уравнениями. Нужно определить точку пересечения этих прямых, для этого необходимо решить систему данных ур-й: A1B1-A2B2=0, тогда система ур-й имеет единственное решение: X=B1C2-B2C1/A1B2-A2B1; Y=A2C1-A1C2/A1B2-A2B1 это значит прямые L1и L2не параллельны и пересекаются в одной точке с координатами XY.

Вопрос 13. Угол между 2-мя прямыми, условия парал-ти и перп. двух прямых.

Возьмем 2 прямые не параллельные оси ординат. Ур-е прямой L1 будет y-k1x+b1 k1=tgL1; L2 будет y=k2x+b2 k2=tgL2

Определим угол наклона φ прямой L1 к L2 т. е. определим угол наклона на который нужно повернуть прямую L1 чтобы она стала параллельной прямой L2, как и при определении угла между осями угол считается “+” в случае вращения L1 против часовой стрелки и “–“ если по часовой. На основании геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами L1, L2,φ: L2=L1+φ, φ=L2-L1, φ≠90° (≠π/2), то

tgφ=tg(L2-L1), tgφ=tgL2-tgL1/1+tgL2*tgL1

tgφ=K2—K1/1+K2*K1 – формула для определения угла м/у 2-я не-ми прямыми.

Если L1 параллельна L2 или же совпадают, то угол φ=0=>tgφ=0. в этом случае К2-К1=0 (К2=К1 — условие параллельности 2-х прямых) Т. о. если прямые L1иL2 таковы что К1=К2 то tgφ=0, т. е. L1 параллельна L2 . Если прямые парал. , то их угловые коэфф. равны и наоборот если L1иL2 перпендик. Т. е. угол φ =π/2, то L2 =π/2+L1 tgL2=-ctgL1

K2=-1/К1—условие перпенд. прямых L1иL2. Если ур-ния прямых L1 L2 заданы в общем виде: A1x+B1y+C1=0; A2x+B2y+C2=0, то имеем к1=-A1/B1 k2=-A2/B2. подставим в формулу : tgφ=A1B2-A2B1/B1B2+A1A2

В этом случае условие параллельности прямых будет A1B2-A2B1=0, а перпендикулярности прямых будет A1A2+B1B2=0

Вопрос 14. Векторные и скалярные величины, определение векторов.

Величины, которые определяются только числовым значением (t; V; m), называются скалярными. Величины которые для своего определения требуют знания ещё и направления (сила, скорость), называются векторные.

Скалярная величина может быть заданна числом, для отвлечения изображения конкретных векторных величин употребляются векторы (это направленные отрезки). Два вектора считаются равными, если они параллельны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Длина вектора MN называется его модулем.

Вопрос 15. Сложение векторов.

Суммой векторов а и в называется вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец совпадает с концом вектора в, приложенного к концу вектора а.

1)переместительный закон

а+в=в+а (для любых а и в)

2)сочетательный закон

а+(в+с)=(а+в)+с (для любых а. в.с.)

a=OK; b=KL; c=LM

OK+KL=OL; OL+LM=OM

(a+b)+c=OM; b+c=KM; a+KM=OM; a+(b+c)=OM; T. O. (a+b)+c=a+(b+c)

Операция сложения векторов может быть распространена на любое кол-во слагаемых векторов. Для того чтобы сложить n-векторов, нужно к концу 1-го вектора приложить начало 2-го вектора, далее к концу 2-го вектора приложить начало 3-го и т. д. и наконец к концу (N-1) вектора начало N-го вектора, тогда замыкающий вектор, соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора и будет суммой векторов.

Из переместит. и сочетат. законов следует, что при сложении векторов можно любым образом переставлять слагаемые в — а.

16 Вопрос Вычитание векторов

Разностью а и в наз. Вектор с, для которого с+в=а. для построения с=а-в есть 2 способа:

1)приложим к некоторому началу вектора уменьшаемое а и вектор уменьшаемое в. Из конца в к началу а проведем с, который и будет искомой вект. разностью.

2)приложим к концу a вектор d, кот. Противоположен вектору b т. е. d=-b, тогда вектор, соед/ начало a с концом d и будет искомым вектором c.

Вопрос 17 Умножение вектора на скаляр.

Произведением a на скаляр λ наз. вектор параллельный вектору а, направленный как вектор а, если λ >0 и противоположно направленный, если λ <0, имеющий длину λ*а.

Если λ=0, то λа=0

Умножение векторов подчиняется:

1) сочетат. закону

λ(μа)=λμа=(λμ)а

2) переместит. закону

(λ+μ)а=λа+μа

λ(а+b)=λa+ λb

Вопрос 18. Проекция векторов.

Проекцией вектора MN на ось называется величина отрезка M1N1, где M1 начало вектора, а N1 проекция конца вектора на эту ось.

Проекция вектора на какую либо ось равна произведению модуля вектора на cos угла наклона вектора к оси. a=|a|*cosL

Проекция суммы в-в на какую либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось.

19 Вопрос Координаты и компоненты векторов.

Введем в пространстве декартову прямоуг. сист. корд. XYZ. Пусть в этом пространстве имеется произвольный вектор а. координатами вектора а в выбранной сист. корд. называются числа XYZ, являющиеся проекциями а на коорд. оси. а (XYZ). Приложим начало а к началу коорд. вектор ОМ равен а (это радиус-вектор точки М). спроектируем точку М на оси коорд. – ОК, ОL, ОN. Из определения координат xyz в точки М и коорд-т XYZ вектора а в выбранной сист. коорд. что коорд. а равна коорд-м его конца если начало этого вектора совпадает с началом координат т. е. х=Х; y=Y;z=Z.

20 Вопрос Координатная форма векторов.

Если вектор а задан в виде а=Xi+Yj+Zk то говорят что он задан в координатной форме. Вектор ОМ и а — диагональ параллелепипеда и соотв. |а| =sqr(X2+Y2+Z2) (XYZ—коорд. вектора a или проекции a на оси коорд.)

X= |a| *cosL =>cosL = x/sqr (x2+y2+z2)

Y= |a| *cosL =>cos B = y/sqr (x2+y2+z2)

Z= |a| *cosL =>cos= z/sqr (x2+y2+z2)

направляющие cos вектора a

Они связаны следующим соотношением: cos2L+cos2B+cos2=1

Вопрос 21 Свойство векторов заданных в заданной коорд. форме.

Для этих векторов существ. След св-ва: