Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Учебные материалы по математике Билеты по вышке с ответами

Билеты по вышке с ответами

Вопрос 1. Система координат. Координаты на прямой.

Пусть дана некоторая прямая, установим на ней положение направления, прямая стала осью. Выберем на ней произв. точку (о), зададим единичный или масштабный отрезок – (о) начало отсчета. Если на прямой выбранно направление, начальная точка (о) и начало отсчета, то говарят, что на этой прямой введена декартова система координат. При этом прямая называется координатной осью, (о) – начало координат. Введение на прямой д. с.к. позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Координатой любой точки М прямой в выдранной системе координат называется число х равное величине равновестного отрезка ОМ (х=ОМ).

Т. О. х – это координата точки М, число равное по абсолютной величине расстоянию от начала координат до точки М и это число имеет знак (+)при совпадении с осью и (-) если направление не совпадает с осью. При помощи д. с.к. на прямой можно установить взаимноодназначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел. Любой точке прямой соответствует определенной действ. число, а любому действ. числу опр. точка на прямой.

Вопрос 2. Декартова система коорд. на плоскости.

Будем говорить, что на плоскости заданна д. п.с. к. если заданна пара взаимно перпендикулярных осей, при этом установленно какая первая какая вторая, задан единичный или масштабный отрезок. Точку (о) – точку пересечения осей будем считать началом координат. Первая ось — ось абсцис (ОХ), вторая – ось ординат (ОУ).

М – произвольная точка плоскости, опустим перпендикуляр на оси ОХ и ОУ. Абсциссой точки М назыв. величина отрезка ОК оси ОХ, ординатой – отр. OL оси ОУ. Пару чисел Х и У, где х = ОК, у = OL назыв. координатами точки М в выбранной системе координат. М (х, у). Абсцисса Х точки М = 0 тогда и только тогда, когда точка М лежит на оси ОУ, ордината У – на оси ОХ. Т. О. каждой точке М соотв. пара действ. чисел х, у,координат этой точки и наоборот.

М1(х1,у1) М2(х2,у2)

Эта формула позволяет зная координаты точек М1 и М2 определить расстояние между этими точками.

Вопрос 3. Полярная система координат на плоскости.

Возьмем на плоскости точку (О) и проходящую ось ОР. Точку (О) будем называть полюсом, а луч исходящий из полюса будем называть полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного отрезка ОЕ на этом луче определяет на плоскости полярную систему координат. Полярным радиусом ρ точки М плоскости называется ее расстояние от полюса О т. е. длинна отрезка ОМ. φ – полярный угол, это угол наклона направленного отрезка ОМ полярной оси ОР. φ определяется с учетом знака и с точностью до слагаемого 2πк, к — любое целое число. 0≤φ≤2π Числа ρ и φ называются полярными коор-ми точки М

Вопрос 4. Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами.

Наряду с введенной полярной системой координат рассмотрим прямоугольную декартову систему такую, что полюс совпадает с началом, а полярная ось – с положительной полуосью Ох. Если М произвольная точка плоскости, (х, у) – ее декартовы, а (ρ,φ) – полярные координаты, то очевидно, что х= ρcos φ, y= ρcosφ

Вышеуказанные формулы выражают прямоугольные декартовы координаты точки плоскости через ее полярные координаты. Полярные координаты точки выражаются через ее декартовы координаты формулами: ρ=, cosφ=, sinφ=

Вопрос 5. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.

П. д.с. к. в пространстве считается заданной если даны единичный масштабный отрезок, 3 взаимно пересекающихся перпендикулярных оси в точке О – начало координат. (2 оси – абсцисса, ордината, 3 — аппликата). K, L,N – точки пересеч с осями корд. 1-й корд-й точки М (абсцисой) называют число х=ОК, 2-й (ординатой) – у=OL, 3-й – (аппликата) z=ON.

Введение в пространство п. д.с. к. позволяет каждой точке пространства поставить соответств. тройку действ. чисел – координат этой точки, и наоборот каждой упорядоченной тройке действ. чисел соотв. единственная точка в пространстве для которой эти числа явл. координатами в выбранной системе координат.

Вопрос 6. Линии и их уравнения на плоскости.

Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение сдвумя переменными которому удовлетворяют координаты х, у любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. F(x, y)=0 Т. О. уравнение линии есть соотношение связывающее координаты точек данной линии и только этих точек. Это соотношение представляет собой аналитическую запись т. е. запись с помощью формулы того свойства кот. выделяет среди всех точек плоскости т очки данной линии. Т. О. уравнение линии – это запись св-ва кот. определяет данное геометрическое место точек. (x-a)2 + (y-b)2 =R2

Вопрос 7. Уравнение прямой.

Прямая может быть заданна уравнением 1-й степени относительно х и у.

y=kx+b. Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, в этом уравнении x и y явл. тоже координатами произв. Точки прямой, а постоянные для данного уравнения величины k и b назыв. параметрами уравнения. k-угловой коэф., b-начальная ордината.

Частный случай:

1. b=0; y=kx

2. k=0; y=b

3. x=a; y=0

Вопрос 8. Общее уравнение прямой.

Всякое уравнение 1-й степени относительно x и y (Ax+By+C=0) определяет в прямоугольной системе координат x-o-y некоторую прямую.

1. А≠0; В≠0; С≠0 Разделим всечлены уравнения на В:

;; =b ; y=kx+b

2. A=0; B≠0; C≠0 Делим на B:

; =b ; y=b

3. А≠0; B=0; С≠0

Ax+C=0 Делим на A ; x=a

4. А≠0; В≠0; С=0 Ax+By=0 Делим на В:

; y=kx

5. A=0; В≠0; C=0 Делим на В y=0

6. А≠0; B=0; C=0 Делим на А x=0

Т. О. во всех случаях уравнение Ax+By+C=0 где A и B одновременно не равны 0 является уравнением прямой линии и это уравнение называется общим уравнением прямой. В прямоугольной системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени и обратно.

Вопрос 9. Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении.

Необходимо составить уравнение прямой, проходящей через точку Mo (xo;yo) и имеющей угловой коэффициент К. Уравнение этой прямой можно записать как уравнение прямой с угловым коэффициентом: (1) y=kx+b, k- известно, b-?

Т. к. прямая проходящая через Mo(xo;yo), то координаты этой точки должны удовлетворять (1): yo=kxo+b (2) , b=yo-kxo, подставим b в уравнение (1):

y=kx+(yo-kxo)=> yyo=k(xxo) (3) В этом уравнении k-заданно, xo и yo – известны. (3) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Вопрос 10. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.