Сайт студентов математиков для студентов математиков!

Базисный минор матрицы

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры были = 0

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца

28. Угол между прямой и плоскостью условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениямиhttp://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image308.gifРассмотрим векторы http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image250.gif и http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image309.gif. Если угол между ними острый, то он будет http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image310.gif, где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image311.gifhttp://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image179.gif.

Если угол между векторами http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image312.gif и http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image309.gif тупой, то он равен http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image313.gif. Следовательно http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image314.gif. Поэтому в любом случае http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image315.gif. Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image316.gif.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image250.gif и нормальный вектор http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image309.gif плоскости коллинеарны, т. е. http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image317.gif.

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image312.gif и http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image309.gif перпендикулярны.http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture19/l19image318.gif

20. Необходимые и достаточные условие экстремума функции.

Необходимое условие экстремума

g^{'}(x_{0}) = 0, если производная существует, т. е. приравниваем первую производную функции к нулю. Либо не существует.

Достаточное условие экстремума

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точкиx_{0} такой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точкиx_{0} и слева от этой же точки, тогда точкуx_{0} можно охарактеризовать следующим образомhttp://naotlichno.by/images/stories/extremum.png

24. Уравнение прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой в отрезках:

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_%20on_%20plane.files/Eqn010.gif илиhttp://www.mathelp.spb.ru/book1/line_%20on_%20plane.files/Eqn011.gif, гдеhttp://www.mathelp.spb.ru/book1/line_%20on_%20plane.files/Eqn012.gif

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

23. Правило Лопиталя (для раскрытия неопределённостей вида и ). Если функции y=f(x) и y=(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки х=, стремятся к нулю(или ) при x и существует , то существует также и эти пределы равны, т. е. =.