Аргумент комплексного числа

Применяя формулы суммы, получаем разложение на действительную и мнимую части экспоненты и тригонометрических, а также гиперболических функций.

З. Разложения на действительную и мнимую части:

Если однозначная аналитическая функция отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.

И. Область Dk={ x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции ez, которая отображает ее на область .

Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:Dk→ ℂ . Пусть w — любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения ex=|w| и
eiy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала [2πk, 2π (k+1))), получим z=x+iy∈Dk такое, что exp z=w. Сюръективность доказана.

Следствием предыдущего свойства является

К. Область значений. Область значений функций cos z, sin z, ch z, sh z есть все поле комплексных чисел.

Л. Нули Решением уравнения sin z=0 является множество {πk | k∈ ℤ } . Нули функции cos z — множество { π /2+πk | k∈ ℤ } . Нулями функции sh z является множество { πki | k∈ ℤ} , а нули функции ch z — множество { π/2i+πki | k∈ ℤ } .

Доказательство. Имеет место соотношения sin z=0 тогда и только тогда, когда eiz — e-iz =0 Это равносильно соотношению e2iz =0, что дает 2iz=2πik. Окончательно, z=2πk (k∈ ℤ ). Аналогично доказываются утверждения для остальных функций.□

Функция tg z=sin z /cos z называется тангенсом, а функция th z= sh z/ ch z называется гиперболическим тангенсом. Производные тангенсов вычисляются c использованием известного правила "производная отношения":

(tg z)’=1/cos2z, (th z)’= 1/ch2z.

Область допустимых значений тангенса tg z есть многосвязная область ℂ {π /2+πk | k∈ ℤ }

12  Аргумент комплексного числа

Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число 𝜑 ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i𝜑 ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.

Всевозможные решения уравнения относительно переменной 𝜑, т. е. множество {arg z+2π k ∣ k∈ ℤ } назовем аргументом комплексного числа z и обозначим Arg z. Таким образом Arg z — многозначная функция.

13  Многозначные функции

Примерами многозначных функций являются аргумент Arg z и . Ветвью многозначной функции в области D назовем такую непрерывную однозначную функцию , что для любого . Для некоторых областей D⊆ ℂ можно выделить ветвь многозначной функции с соблюдением непрерывности или аналитичности, а для других нет. Так например, для области и функции нельзя выделить ветвь, а для области

0 1

-1

Рис. Выделение ветви функции Arg z

можно: пусть ψ (z)=arg z+2πkz, где kz — целое число, которое указано на рисунке в той части области D, в которой лежит комплексное число z. Если z лежит на границе, то берется любое из двух возможных целых чисел. Построенная таким образом ветвь будет непрерывной функцией. Теперь можно построить и аналитическую ветвь многозначной функции и в той же области D — . Заметим, что для кольца 0<|z| <R такое построение, с соблюдением аналитичности, невозможно.

Определим

Если z=x — положительное действительное число, то в силу монотонности действительной функции ey, существует только одно действительное число в множестве Ln x. Оно есть не что иное как натуральный логарифм числа x (обозначается ln x).

Предложение. Пусть — показательная форма записи. Тогда

Пример. Вычислим:

Свойства комплексного логарифма таковы.

Л1. Область допустимых значений логарифма — все ненулевые комплексные числа. Если z=rei𝜑 , где r=|z| и 𝜑 ∈ Arg z, то Ln z={ln r+i(𝜑 +2π k) | k∈ ℤ } .

Л2 [производная логарифма] (Ln z)’= 1 / z. (Имеется в виду производная от любой ветви логарифма)

Доказательство. Дифференцируем левую и правую часть соотношения ew=z, считая w функцией от z. Получаем: ew⋅ w’z=1, откуда w’z= 1/ew =1/z.

Следующее свойство вытекает из основного функционального соотношения для экспоненты.

Л3. Для любых ненулевых комплексных чисел z1, z2 и z выполняются равенства:

Ln(z1⋅ z2)=Ln z1+Ln z2; Ln zk=k Ln z (k∈ ℤ ).

С помощью комплексного логарифма можно определить степень любого ненулевого комплексного числа с любым комплексным показателем:

Пример ii={e-π /2-2πk | k∈ ℤ } .

Л4. Для всех ненулевых комплексных чисел имеет место равенство:

Определим теперь обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции:

Arcsin z={ w∈ ℂ | sin w=z} ; Arccos z={ w∈ ℂ | cos w=z} ;

Arcsh z={ w∈ ℂ | sh w=z} ; Arcch z={ w∈ ℂ | ch w=z };

Arctg z={ w∈ ℂ | tg w=z} ; Arcth z={ w∈ ℂ | th w=z} .

Используя комплексный логарифм, установим формулы для вычислений этих многозначных функций. Начнем с решения уравнения ch w=z относительно w. Заменяя ζ =ew, сводим это уравнение к квадратному ζ2-2zζ +1=0, решения которого суть: . Получаем окончательно:

.

Аналогично:

Arccos z=-i Ln(z+√(z2-1)); Arcsh z=Ln(z+√(z2+1) ); Arcsin z=- i Ln(iz+√(1-z2));

Пример Вычислим: ; .

14  Интегрирование функции комплексного переменного

14.1  Кривые на комплексной плоскости

Путем или кривой L на комплексной плоскости называется отображение z=z(t)=x(t)+iy(t) отрезка действительной прямой [a, b ] в комплексную плоскость ℂ. Точка z(a ) называется началом пути L, а точка z(b ) — его конец. Путь L называется замкнутым, если начало совпадает с концом. Образ отображения z(t), т. е. множество {z(t) ∣ t∈ [a, b ]} называется носителем кривой L. Кривая L называется непрерывной, если функции x(t) и y(t), а тем самым и функция z(t) непрерывны. Путь L называется гладким, если существует непрерывная и отличная от нуля производная в любой точке ; для замкнутого пути дополнительно требуется, что бы односторонние производные z'(a ) и z'(b ) совпадали. Путь L называется кусочно гладким, если существует разбиение a =a0<a1<a2<…<an=b отрезка [a, b ] такое, что на каждом отрезке [ai-1, ai] путь L гладок.