Matematiku5 – Решить задачу по тфкп
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Решить задачу по тфкп


Задание №1.

Найти все значения корня .

Решение:

Корень степени n комплексного числа z имеет n корней, который находятся по следующей формуле:

z^{1/n}=[r(cos (varphi+2pi k) +isin (varphi+2pi k))]^{1/n} = r^{1/n}left(cos frac{varphi+2pi k}{n} +isin frac{varphi+2pi k}{n}right),

где φ=arg(z); k = 0, 1, …, n-1; z ≠ 0.

Т. о., подставляя различные значения k, мы найдем все значения данного корня:

1) = 2) =

3) = 4) =

Ответ: ={}.

Задание №2.

Представить в алгебраической форме ch(1+πi/3).

Решение:

Перейдем к тригонометрическому косинусу:

ch(1+πi/3) = cos(1-π/3).

Разложив косинус по формуле косинуса разности получим:

cos(1-π/3) = cos(i)cos(π/3)+sin(i)sin(π/3);

Представим тригонометрическую функцию в виде показательных:

cos(i)cos(π/3)+sin(i)sin(π/3) = =.

Ответ: ch(1+πi/3) = .

Задание №3.

Представить в алгебраической форме Arctg().

Решение:

Т. к. функция arctg является многозначной и в общем виде определяется как

Arctg z = ,

То при z = получим:

Arctg() = = = .

Функция Ln(z), при z ≠ 0, определяется как функция, обратная показательной, при этом:

= =

= , где k=0, ±1, ±2,…

Ответ: Arctg() = , k=0, ±1, ±2,…

Задание №4.

Начертить область, заданную неравенством |z| ≤ 1, arg(z+i) > .

Решение:

 0 1
Rez(z)

Задание №5.

Определить вид кривой z = +.

Решение:

Уравнение вида z = z(i) = x(t) + i*y(t) определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид x=x(t), y=y(t). Тогда:

x(t) =, y(t) = .

Выразим t:

x = → t =;

y = → ch(5t) = → t =.

Получили уравнение кривой в виде F(x, y) = 0;

= = 0.

Ответ: = 0.

Задание №6.

Проверить, что v является мнимой частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной мнимой v(x, y) и значению f(z0).

v = 3x2y-y3; f(0)=1.

Решение:

Зная действительную часть аналитической функции узнаем её производную:

Найдем производную аналитической функции:

.

Т. к. производная существует, то v – мнимая часть данной функции. Теперь найдем саму функцию:

.

Определим константу С:

→ С = 1.

Ответ: f(z) = z3 + 1.

Задание №7.

Вычислим интеграл от функции комплексной переменной по данной кривой:

; L: {|z| = R, Im z ≥ 0}

Решение:

Изобразим кривую, по которой будет проходить интегрирование:

-R-R

Перейдем к f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), где z = x + iy:

f(z) = (x+iy)Re(x2 +2ixy — y2) = x3 – xy2 + i(x2y — y3).

, ;

Условие Коши-Римана не выполняются, значит, функция не является аналитической. Тогда представим кривую в параметрическом виде:

Ответ: .

Задание №10.

Данную функцию разложить в ряд Лорена в окрестности z0:

f(z) = , z0 =3;

Решение:

Перейдем к новой переменной .

; = = .

Теперь остается найти разложение получившейся функции от в окрестности точки = 0. Для это используем разложение в ряд Тейлора:

==

Возвратим переменные и получим разложение исходной функции в ряд Лорена:

f(z) =

Ответ: f(z) =

Задача №13.

Вычислить интеграл:

=;

Решение:

Найдем особые точки подынтегральной функции:

z = 0, z = -π/4;

Т. к. z = 0 не входит в ограниченную область контуром, то её можно не рассматривать.

Точка z = -π/4 является простым полюсом, поэтому найдем её вычет:

===;

Отсюда следует:

=;

Ответ: =­ -2i.

Задача №14.

Вычислить интеграл:

;

Решение:

У данной функции существует только одна особая точка z = 0. Определим тип этой особой точки:

Считая данное выражение рядом Лорена по степени z, т. е. в окружности z= 0, мы приходим к тому, что точка z = 0 является полюсом 4-го порядка. В соответствие с этим, найдем вычет в данной точке:

.

По основной теореме Коши о вычетах:

;

В данном случае:

;

Ответ: = 0.

Задача №16.

Вычислить интеграл:

;

Решение:

Разобьём данный интеграл на сумму двух интегралов:

1)  Для первого интеграла используем вычеты:

Подынтегральная функция имеет 2 особые точки: z1 = 1-3i и

z2 = 3(1-i). При этом точка z2 не охвачена контуром, по которому происходит интегрирование, поэтому не рассматривается.

Что качается z1, то она является полюсом второго порядка. Найдем вычет в ней:

;

Таким образом:

2)  Рассмотрим второй интеграл:

;

Найдем особые точки подынтегральной функции, решив уравнение:

Из всего полученного множества точек только одна охвачена контуром . Точка z = -3i является простым полюсом. Найдем вычет в этой точке (используем правило Лопиталя):

Таким образом:

= ;

3)  Теперь найдем исходный интеграл как сумму составляющих его интегралов:

= = 2π — 4π = 2π.

Ответ: = 2π.

Задача №17.

Вычислить интеграл:

Решение:

Преобразуем данный интеграл в контурный, используя следующие выражения:

z = ek; cos t = (z+1/z)/2; sin t = (z — 1/z)/2i; dt = dz /iz;

.

Перейдем к контурному интегралу:

Подынтегральная функция имеет 2 особые точки: z1 = i/, z2 = i. Точка z2 не попадает в область, ограниченную контуром интегрирования. Точка z1 является простым полюсом, поэтому следует вычислить в ней вычет:

По основной теореме Коши о вычетах:

=;

Ответ: = .

Задача №18.

Вычислить интеграл:

Решение:

Преобразуем данный интеграл в контурный, используя следующие замены:

z = ek; cos t = (z+1/z)/2; sin t = (z — 1/z)/2i; dt = dz /iz;

Теперь воспользуемся этими данными и перейдем к контурному интегралу:

=;

Подынтегральная функция имеет 2 особые точки: z1= и z2 =. Точка z2 не попадает в область ограниченную контуром интегрирования. Точка z1 является полюсом второго порядка. Вычислим вычет в этой точке:

По основной теореме Коши о вычетах:

=

Ответ: .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод