Методика изучения табличного умножения и деления

3. Методика изучения табличного умножения и деления

Изучение таблицы умножения и деления является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, с числами 1 и 10 относятся к особым случаям.

К табличному умножению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

1. Умножение двух — первый этап в рассмотрении таб­личных случаев умножения.

Результат 2х2 = □ находят действием сложения, помня, что умножение — это сумма одинаковых слагаемых. Поэтому, 2 + 2 = 4. Следователь­но, 22 = 4.

Аналогично:

= 6, 2 + 2 + 2 = 6,

2 + 2 + 2 + 2 = 8,

2 + 2+ 2 + 2 + 2 = 10,

Для остальных случаев используется предыдущий ре­зультат:

, 10 + 2 = 12, следовательно, ,

, 25 = 10, 10 + 4 = 14, следовательно, 2 7 = 14.

2. Умножение на число 2 (таблица состав­ляется на основе переместительного свойства умножения):

3. Табличное деление рассматривается на основе взаимосвязи умножения и деления следующим образом:

если 3 2 = 6, то 6:2=3 и 6 : 3 = 2.

Решение записывают столбиком:

7 2 = 14; 6 2 = 12;

14:2 = 7; 12 : 2 = 6;

14 : 7 = 2. 12 : 6 = 2.

Таким образом, приходим к таблицам умножение числа 2 и умножение на число 2. Затем на основе связи между умножением и делением находятся соответствующие случаи деления:

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3.

Знание таблицы умножения и соответствующих случа­ев деления доводится до автоматизма.

4. Умножение и деление с 0 и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, поскольку они не могут быть разъяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления.

Умножение единицы на любое число рассматривается на основе определения умножения как суммы одинаковых слагаемых. Например, 1×5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. Этот случай не вызывает трудностей.

Умножение любого числа на 1 , умножение любого числа на нуль вводится как особый, его нельзя ввести на основе определения умножения. Поскольку фраза: «повторяем слагаемым 1 раз» или « повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению, т. е. сообщают детям, что при умножении любого числа на 1 получаем то же число; при умножении любого числа на нуль, получаем в произведении нуль.

В программах Л. Г. Петерсон, Н. Б. Исто­миной эти случаи вводятся на основе переместительного свойства умножения.

Деление на единицу рассматривается на основе связи между умножением и делением. Например, 3:1=3, так 1х 3 = 3. В общем виде закономерность оформляется в буквенном виде: а : 1 = а, так как 1 х а = а (при делении числа на 1, получается то же самое число).

Случай вида а : а = 1, если а ≠ 0, вводится также на основе связи деления с умножением (при делении числа на то же самое число в частном получается 1).

Например, 7:7 = 1, так как 1×7 = 7.

Деление нуля на любое число рассматривается на осно­ве связи деления с умножением.

Например, 0:3 = 0, так как 0 х 3 = 0. В общем виде закономерность оформляется в буквенном виде: 0:b = 0 (при делении нуля на любое число, отличное от нуля, а частном получается нуль).

Невозможность деления на нуль может быть обоснована ссылкой на связь умножения с делением примерно так: «Если бы мы захотели решить пример типа: 6 : 0, то нуж­но было бы подобрать такое число в частном, при умно женим которого на нуль получилось бы 6. Но при умножении любого числа на нуль — всегда получается нуль. Значит, найти такого числа нельзя. Следовательно, и делить на нуль нельзя».

5. Методика изучения внетабличных случаев умножения

и деления в пределах 100

К внетабличному умножению и соответствующим слу­чаям деления относят случаи, выходящие за пределы ум­ножения однозначных чисел, результаты которых не пре­вышают 100. Это случаи вида: 20 х 4, 23 х 4, 17 х 5.

К внетабличным случаям деления относятся случаи вида: 80 : 2, 69 : 3, 92 : 4, 80: 20, 60 : 15 и другие. Изучение внетабличных случаев вводится по следующему плану:

1.  Свойство умножения числа на сум­му и суммы на число;

В подготовительный период учащиеся знакомятся со свойством умножения числа на сумму, которое выполня­ется двумя способами:

1)  5 х (4 + 2) = 5 х 4 + 5 х 2 = 20 + 10 = 30;

2)  5 х (4 + 2) = 5 х 6 = 30.

Учащиеся, анализируя запись, поясняют каждый спо­соб умножения числа на сумму. Для закрепления данного свойства решается достаточное количество примеров и задач (двумя способами) с пояснением и без пояснения.

2.  Умножение и деление чисел оканчивающихся нулем.

Вычислительный приём в данном случае сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков в заданных числах.

Для случаев вида 40 : 20 рассматриваются два способа вычислений: тот, что использовался в предыдущих случаях, и способ подбора частного.

В первом случае использовался прием представления двузначных десятков в виде разрядных единиц, что сводит рассматриваемый случай к табличному (4:2). Во втором случае цифра частного находится подбором и проверяется умножением.

3.  Умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного на двузначное, на ос­нове правила умножения суммы на число (дистрибу­тивный закон умножения относительно сложения);

Внетабличные случаи умножения и деления рассмат­риваются в такой последовательности:

1)  умножение двузначного числа на однозначное. Например, 24 х 3.

Учащиеся отыскивают способ умножения самостоятельно на основе наблюдений записи, данной в учебнике, и выполнении соответствующих примеров по аналогии: 24 х 3 = (20 + 4) х 3 = 20 х 3 + 4 х 3 = 60 + 12 = 72.

В основе вычислительного приема лежат следующие те­оретические знания:

• представление числа (множимого) в виде суммы раз­рядных слагаемых;

• умножение суммы на число (дистрибутивный закон умножения относительно сложения);

• умножение чисел, оканчивающихся нулями;

• табличные случаи умножения;

• поразрядное сложение чисел.

2)  умножение однозначного числа на двузначное.

В случае умножения вида 3х24 сначала применяются перестановка множителей, а затем та же схема умножения, что описана выше.

4.  Свойство деления суммы на число, деление двузначного числа на однозначное;

По ана­логичному алгоритму рассматриваются примеры вида: 46 : 2; 50: 2; 76 : 2.

Различие состоит лишь в представлении делимого в виде суммы разрядных или удобных слагаемых.

46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23.

50 : 2 = (40 + 10) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25.

76 : 2 = (60 + 16) : 2 = 60 : 2 + 16 : 2 = 30 + 8 = 38

Рассматриваются случаи деления 96 : 6, 84 :6, 72 : 6, когда разрядные слагаемые не делятся на данное число.

Например, 84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4= 14.

При решении таких примеров используются следующие теоретические положения:

·  представление делимого в виде удобных слагаемых, одно из которых содержит круглое число десятков, делящихся на делитель, другое слагаемое делится на делитель на основе знания табличных случаев;

·  деление суммы на число (распределительное свой­ство деления относительно сложения); — деление круглых чисел;

·  знание табличных случаев;

·  знание десятичной записи числа.

5.  Деление двузначного числа на дву­значное (методом подбора на основе связи умноже­ния и деления);

Деление двузначного числа на двузначное рассматри­вается на основе метода подбора, например, 87 : 29.

Учащиеся рассуждают: «Надо подобрать такое число в частном, которое, будучи умноженным на делитель, даст делимое.

Попробуем по 2, имеем: 29 • 2 = 58. Мало.

Попробуем по 3, имеем: 29 х 3 = 87. Значит, 87 : 29 = 3».

В программе «Гармония» Н. Б. Истоминой последовательность рассмотрения внетабличных случаев изменена, они не выделяются так четко, как в программе «Школа России», а рассматриваются в процессе практической деятельности.

В программе Л. Г. Петерсон внетабличные случаи умно­жения частично рассматриваются во 2 классе. Сначала и рассматривается умножение на 0 и на 1, а затем па основе переместительного свойства умножения делают заключе­ние: если 0х 1 = 0, то 1 х 0 = 0.