Задачи по дифурам

Вариант 1

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2. 

3. 

4.  .

5. 

6. 

7. 

II. 8. Вычислить

9. 

10.

III.11

12.

13.

14. 

15.  Определить и записать структуру частного решения уЧ ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Цилиндрический сосуд высотой 2 м и диаметром основания 4м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая его, вытечет через круглое отверстие радиусом 8 см в дне сосуда?

Вариант 2

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения уЧ ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату абсциссы точки касания.

Вариант 3

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3. 

4.

5.

6. 

7. 

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения yЧ ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Скорость распада радия пропорциональна количеству не распавшегося радия. Вычислить, через сколько лет от 1кг радия останется 650 г, если известно, что за 1600 лет распадается половина первоначального количества.

Вариант 4
Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. .

2.

3.

4. 

5. 

6. 

7. 

II. 8.Вычислить

9.

10.

III.11.

12. 

13. 

14. 

15.  Определить и записать структуру частного решения ДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку Р(1,2) и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиусом-вектором ОМ любой точки кривой, касательной МА в этой точке с осью Ох, равна 2.

Вариант 5

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II.8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12

13

14

15 Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV. 16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. В комнате, где температура 20°, некоторое тело остыло за 20 мин от 100 до 60°. Считая, что скорость остывания пропорциональна разности температур тела и воздуха в комнате и последняя повышается незначительно, найти закон остывания тела. Через сколько минут оно остынет до 30°?

Вариант 6

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

II. 8.Вычислить .

9. 

10.

III.11.

12.

13.

14. 

15.  Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V.17. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

Вариант 7

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8.Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15.Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Автомобиль движется по горизонтальному участку пути со скоростью v = 90 км/час. В некоторый момент времени он начинает тормозить. Сила торможения равна m = 0,3 от веса автомобиля. В течение какого промежутка времени он будет двигаться от начала торможения до полной остановки, и какой путь пройдёт за это время?

Вариант 8

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8.Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15.Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.

Вариант 9

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I.  1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Плоский контур площадью S с сопротивлением R и самоиндукцией L вращается с угловой скоростью в постоянном магнитном поле вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярно . Найти силу тока в петле, обусловленную индукцией магнитного поля.

Вариант 10
Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I.  1.

2.

3.

4. 

5. 

6. 

7. 

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12 .

13 .

14 .

15 .Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0,4), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведённой в любой точке кривой, равна расстоянию от точки до начала координат.

Вариант 11

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. tg

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II.8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15.Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16.Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17.Шарик массой движется под действием упругой силы и силы трения , где — собственная частота колебаний шарика, ; — коэффициент трения. В момент он отстоит от точки равновесия на расстоянии 5 см и его начальная скорость равна нулю. Найти зависимость координаты шарика от времени. Через сколько времени его амплитуда уменьшится в раз?

Вариант 12

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3. 

4.

5.

6.

7. tg

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(4,1) и обладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания.

Вариант 13

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 минуты вращается со скоростью 60 об/мин.

Вариант 14
Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. ctg

7.

II. 8. tg Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(-1, 3), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке равняется ординате этой точки, увеличенной в 2 раза.

Вариант 15

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6.

7.

II.8. Вычислить

9. tg

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предельную скорость падения тела.

Вариант 16

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2. 

3.

4.

5.

6.

7.

II.8.Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(3,-1), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке в 3/2 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

Вариант 17

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. ctgtg

2.

3. 

4. 

5. 

6.

7.

II.8.Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Ускорение локомотива прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m. Начальная скорость локомотива , сила тяги – скорость; – постоянные величины. Найти силу тяги локомотива как функцию времени t, если в начальный момент t = 0 .

Вариант 18

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4. 

5. 

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0,-8), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведённой в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.

Вариант 19

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3. 

4. 

5. 

6.

7.

II. 8. Вычислить

9. tg

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Интенсивность света, проходящего через слой воды, уменьшается пропорционально интенсивности падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м интенсивность света уменьшается вдвое, то какова будет интенсивность на глубине 30 м?

Вариант 20

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. ctg

2.

3.

4. 

5. 

6.

7.

II. 8. Вычислить

9. ctg

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V.17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(-2, 5) и обладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания.

Вариант 21

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3. 

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. На тело массы , движущееся в вязкой среде со скоростью , действует сила сопротивления Начальная скорость тела м/с. Через 2 с его скорость уменьшается до 3 м/с. За какое время тело пройдёт путь в 5 м?

Вариант 22

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1. tg

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II.8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(-2, 5) и обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.

Вариант 23
Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Частица массы с зарядом совершает вынужденные колебания под действием электрического поля напряжённостью Написать уравнение движения и найти при начальных условиях Нарисовать график зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы.

Вариант 24

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II.8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(-2, 4) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой её точке равняется ординате этой точки, увеличенной в 6 раз.

Вариант 25

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4. 

5. 

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Частица массы движется под действием квазиупругой силы и силы трения В момент на неё начинает действовать вынуждающая сила Найти частное решение для вынужденных колебаний. Вычислить амплитуду колебаний и сдвиг фазы их по отношению к фазе вынуждающей силы.

Вариант 26

Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений.

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. 8. Вычислить

9.

10.

III.11.

12.

13.

14.

15. Определить и записать структуру частного решения ЛНДУ по виду функции f(x).

IV.16. Решить систему дифференциальных уравнений

V. 17. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, любой касательной к кривой и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3.

Дифференциальные уравнения

Составители Грахов Валерий Борисович

Катальников Виктор Владимирович

Кочнев Владимир Платонович

Редактор Л. Ю.Козяйчева

ИД №06263 от 12.11.2001 г.

____________________________________________________________Подписано в печать 01.07.2004. Формат 60х84 1/16

Бумага писчая Печать офсетная Усл.-печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,0 Тираж 100 экз. Заказ Цена 16-23

____________________________________________________________ Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ»

620042, Екатеринбург, ул. Мира, 17